Giải phương trình: 24/x-24/x+4=1/2
Phương trình của chúng ta là:
24/x – 24/(x+4) = 1/2
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Đây là bước cực kỳ quan trọng khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu. Để phương trình có nghĩa, mẫu số của các phân thức phải khác 0.
Ta có hai mẫu số là x và x+4.
Vậy, điều kiện xác định là:
x ≠ 0
và
x + 4 ≠ 0 => x ≠ -4
Kết hợp hai điều kiện này, ta có: x ≠ 0 và x ≠ -4.
Bước 2: Quy đồng mẫu số hai vế của phương trình.
Để quy đồng, chúng ta cần tìm mẫu số chung. Mẫu số chung nhỏ nhất của x, x+4 và 2 chính là 2x(x+4).
Bây giờ, chúng ta sẽ biến đổi từng phân thức để có mẫu số chung là 2x(x+4):
Phân thức thứ nhất:
(24/x) nhân cả tử và mẫu với 2(x+4) ta được:
\[ \frac{24 \cdot 2(x+4)}{x \cdot 2(x+4)} = \frac{48(x+4)}{2x(x+4)} \]
Phân thức thứ hai:
(24/(x+4)) nhân cả tử và mẫu với 2x ta được:
\[ \frac{24 \cdot 2x}{(x+4) \cdot 2x} = \frac{48x}{2x(x+4)} \]
Vế phải của phương trình:
(1/2) nhân cả tử và mẫu với x(x+4) ta được:
\[ \frac{1 \cdot x(x+4)}{2 \cdot x(x+4)} = \frac{x(x+4)}{2x(x+4)} \]
Bước 3: Rút gọn phương trình sau khi quy đồng.
Sau khi quy đồng, phương trình của chúng ta trở thành:
\[ \frac{48(x+4)}{2x(x+4)} – \frac{48x}{2x(x+4)} = \frac{x(x+4)}{2x(x+4)} \]
Vì hai vế đã có cùng mẫu số chung là 2x(x+4), chúng ta có thể bỏ mẫu số này đi và chỉ giữ lại các tử số, với điều kiện là x ≠ 0 và x ≠ -4.
Ta được phương trình mới:
48(x+4) – 48x = x(x+4)
Bước 4: Giải phương trình sau khi đã bỏ mẫu.
Bây giờ, chúng ta sẽ tiến hành khai triển và rút gọn phương trình này:
Nhân phân phối ở vế trái:
48x + 192 – 48x = x(x+4)
Rút gọn vế trái:
192 = x(x+4)
Nhân phân phối ở vế phải:
192 = x² + 4x
Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để tạo thành phương trình bậc hai dạng chuẩn:
x² + 4x – 192 = 0
Bước 5: Giải phương trình bậc hai.
Chúng ta có thể giải phương trình bậc hai này bằng nhiều cách, ví dụ như phân tích đa thức thành nhân tử hoặc sử dụng công thức nghiệm. Ở đây, cô sẽ hướng dẫn các em cách phân tích thành nhân tử nếu có thể. Chúng ta cần tìm hai số có tích bằng -192 và tổng bằng 4.
Sau khi thử nghiệm, ta thấy hai số đó là 16 và -12.
Vậy, ta có thể viết lại phương trình như sau:
x² + 16x – 12x – 192 = 0
Nhóm các hạng tử:
(x² + 16x) – (12x + 192) = 0
Đặt nhân tử chung:
x(x + 16) – 12(x + 16) = 0
Đặt nhân tử chung (x+16):
(x + 16)(x – 12) = 0
Để tích này bằng 0, thì một trong hai thừa số phải bằng 0:
Hoặc x + 16 = 0 => x = -16
Hoặc x – 12 = 0 => x = 12
Bước 6: Kiểm tra kết quả với điều kiện xác định.
Chúng ta đã tìm được hai nghiệm tiềm năng là x = -16 và x = 12. Bây giờ, chúng ta cần so sánh chúng với điều kiện xác định ban đầu là x ≠ 0 và x ≠ -4.
– Với x = -16: -16 ≠ 0 và -16 ≠ -4. Vậy x = -16 thỏa mãn điều kiện xác định.
– Với x = 12: 12 ≠ 0 và 12 ≠ -4. Vậy x = 12 thỏa mãn điều kiện xác định.
Kết luận:
Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm là x = -16 và x = 12.
Cô hy vọng với cách trình bày chi tiết từng bước như thế này, các em đã hiểu rõ cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu. Hãy nhớ luôn luôn kiểm tra điều kiện xác định và thử lại nghiệm của mình nhé. Chúc các em học tốt!
\(\dfrac{24}{x}-\dfrac{24}{x+4}=\dfrac{1}{2}\,\,\,(x\ne0;\,x\ne-4)\\⇔24\times2(x+4)-24\times2x=x(x+4)\\⇔48(x+4)-48x=x^2+4x\\⇔48x+192-48x=x^2+4x\\⇔x^2+4x-192=0\\⇔x^2+16x-12x-192=0\\⇔x(x+16)-12(x+16)=0\\⇔(x+16)(x-12)=0\\⇔\left[\begin{array}{}x+16=0\\x-12=0\end{array}\right.\\⇔\left[\begin{array}{}x=-16\\\hspace{-0,4cm}x=12\end{array}\right.\text{ (thoả mãn)}\)
Đáp án: \(S={12;-16}.\)
Giải thích các bước giải:
\(24/x-24/(x+4)=1/2\)
Điều kiện:\({(x \ne 0),(x+4 \ne 0):}\)
\(<=>{(x \ne 0),(x \ne -4):}\)
\(pt<=>(24(x+4))/(x(x+4))-(24x)/(x(x+4))=1/2\)
\(<=>(24x+96-24x)/(x(x+4)=1/2\)
\(<=>96/(x^2+4x)=1/2\)
\(=>x^2+4x=192\)
\(<=>x^2+4x-192=0\)
\(<=>x^2-12x+16x-192=0\)
\(<=>x(x-12)+16(x-12)=0\)
\(<=>(x-12)(x+16)=0\)
\(<=>[(x-12=0),(x+16=0):}\)
\(<=>[(x=12(TMĐK)),(x=-16(TMĐK)):}\)
Vậy phương trình có tập nghiệm \(S={12;-16}.\)