Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán phương trình khá thú vị, đòi hỏi sự khéo léo trong việc biến đổi và đặt ẩn phụ để đưa về dạng phương trình quen thuộc mà chúng ta đã học.

Phương trình đã cho là: \( ( 3x + 4 )( x + 1 )( 6x + 7 )^2 = 6 \)

Quan sát phương trình, chúng ta thấy có các biểu thức \( (3x+4) \), \( (x+1) \) và đặc biệt là \( (6x+7) \) xuất hiện dưới dạng bình phương. Nếu chúng ta nhân trực tiếp các biểu thức này, phương trình sẽ trở thành một phương trình bậc 4 rất phức tạp. Mục tiêu của chúng ta là tìm cách đặt ẩn phụ để đơn giản hóa bài toán.

Chúng ta nhận thấy rằng biểu thức \( (6x+7) \) có vẻ là một “điểm nhấn”. Hãy thử đặt ẩn phụ cho biểu thức này:

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Đặt \( y = 6x+7 \).

Từ đó, ta có thể biểu diễn \( x \) theo \( y \):

\[ 6x = y-7 \]
\[ x = \frac{y-7}{6} \]

Bước 2: Biểu diễn các biểu thức còn lại theo ẩn phụ \( y \)

Bây giờ, chúng ta sẽ thay \( x = \frac{y-7}{6} \) vào hai biểu thức \( (x+1) \) và \( (3x+4) \):

• Đối với biểu thức \( (x+1) \):
  \[ x+1 = \frac{y-7}{6} + 1 \]

  Để cộng phân số, chúng ta quy đồng mẫu số:

  \[ x+1 = \frac{y-7}{6} + \frac{6}{6} \]
  \[ x+1 = \frac{y-7+6}{6} \]
  \[ x+1 = \frac{y-1}{6} \]

• Đối với biểu thức \( (3x+4) \):
  \[ 3x+4 = 3 \left( \frac{y-7}{6} \right) + 4 \]

  Rút gọn 3 với 6:

  \[ 3x+4 = \frac{y-7}{2} + 4 \]

  Quy đồng mẫu số:

  \[ 3x+4 = \frac{y-7}{2} + \frac{8}{2} \]
  \[ 3x+4 = \frac{y-7+8}{2} \]
  \[ 3x+4 = \frac{y+1}{2} \]

Bước 3: Thay các biểu thức đã biến đổi vào phương trình ban đầu

Bây giờ, chúng ta thay \( (x+1) = \frac{y-1}{6} \), \( (3x+4) = \frac{y+1}{2} \) và \( (6x+7) = y \) vào phương trình ban đầu:

\[ \left( \frac{y+1}{2} \right) \left( \frac{y-1}{6} \right) y^2 = 6 \]

Bước 4: Rút gọn phương trình và đưa về dạng quen thuộc

Nhân các phân số với nhau:

\[ \frac{(y+1)(y-1)}{2 \times 6} y^2 = 6 \]
\[ \frac{(y+1)(y-1)}{12} y^2 = 6 \]

Chúng ta nhớ đến hằng đẳng thức đáng nhớ: \( (A-B)(A+B) = A^2-B^2 \). Áp dụng vào \( (y+1)(y-1) \), ta được \( y^2-1 \).

\[ \frac{y^2-1}{12} y^2 = 6 \]

Để loại bỏ mẫu số 12, chúng ta nhân cả hai vế của phương trình với 12:

\[ (y^2-1)y^2 = 6 \times 12 \]
\[ (y^2-1)y^2 = 72 \]

Tiếp theo, chúng ta khai triển biểu thức và chuyển tất cả các số hạng về một vế:

\[ y^4 – y^2 = 72 \]
\[ y^4 – y^2 – 72 = 0 \]

Đây là một phương trình trùng phương, một dạng phương trình mà chúng ta có thể giải bằng cách đặt ẩn phụ thêm một lần nữa.

Bước 5: Đặt ẩn phụ cho phương trình trùng phương

Đặt \( t = y^2 \). (Với điều kiện \( t \ge 0 \) vì \( y^2 \) không thể là số âm trong tập số thực).

Thay \( t \) vào phương trình, ta được một phương trình bậc hai theo \( t \):

\[ t^2 – t – 72 = 0 \]

Bước 6: Giải phương trình bậc hai theo \( t \)

Chúng ta có thể giải phương trình bậc hai này bằng cách phân tích thành nhân tử. Chúng ta cần tìm hai số mà tích của chúng bằng -72 và tổng của chúng bằng -1. Hai số đó là 8 và -9.

\[ t^2 + 8t – 9t – 72 = 0 \]
\[ t(t+8) – 9(t+8) = 0 \]
\[ (t+8)(t-9) = 0 \]

Từ đó, ta có hai trường hợp:

• Trường hợp 1: \( t+8 = 0 \Rightarrow t = -8 \)

  So sánh với điều kiện \( t \ge 0 \), giá trị \( t=-8 \) không thỏa mãn. Vì vậy, trường hợp này không cho nghiệm.

• Trường hợp 2: \( t-9 = 0 \Rightarrow t = 9 \)

  Giá trị \( t=9 \) thỏa mãn điều kiện \( t \ge 0 \).

Bước 7: Tìm giá trị của \( y \)

Với \( t=9 \), chúng ta thay trở lại \( t = y^2 \):

\[ y^2 = 9 \]

Từ đó, ta tìm được hai giá trị của \( y \):

• \[ y = \sqrt{9} = 3 \]
• \[ y = -\sqrt{9} = -3 \]

Bước 8: Tìm giá trị của \( x \)

Cuối cùng, chúng ta sẽ thay các giá trị của \( y \) trở lại biểu thức \( y = 6x+7 \) để tìm \( x \).

• Với \( y=3 \):
  \[ 6x+7 = 3 \]
  \[ 6x = 3 – 7 \]
  \[ 6x = -4 \]
  \[ x = \frac{-4}{6} \]

  Rút gọn phân số:

  \[ x = -\frac{2}{3} \]

• Với \( y=-3 \):
  \[ 6x+7 = -3 \]
  \[ 6x = -3 – 7 \]
  \[ 6x = -10 \]
  \[ x = \frac{-10}{6} \]

  Rút gọn phân số:

  \[ x = -\frac{5}{3} \]

Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm là \( x = -\frac{2}{3} \) và \( x = -\frac{5}{3} \).

Tập nghiệm của phương trình là \( S = \left\{ -\frac{2}{3}; -\frac{5}{3} \right\} \).

Qua bài toán này, các em thấy rằng việc quan sát kỹ các biểu thức, tìm mối liên hệ giữa chúng và sử dụng kỹ thuật đặt ẩn phụ là chìa khóa để giải quyết những phương trình tưởng chừng phức tạp. Hãy cố gắng luyện tập thật nhiều để thành thạo kỹ năng này nhé!

Chúc các em học tốt!