Chào các em, thầy sẽ hướng dẫn các em giải bài tập này một cách chi tiết và dễ hiểu, bám sát chương trình Sách giáo khoa Toán 11 nhé.

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình
Phương trình của chúng ta có dạng phân thức, vì vậy để phương trình có nghĩa thì mẫu số phải khác 0.

Tức là: \(2\cos^2x – \sin x – 1 \neq 0\)

Để giải bất phương trình này, chúng ta sẽ đưa về một hàm số lượng giác duy nhất. Ta sử dụng công thức lượng giác cơ bản: \(\cos^2x = 1 – \sin^2x\).

Thay vào mẫu số, ta có:

\(2(1 – \sin^2x) – \sin x – 1 \neq 0\)

\(\Leftrightarrow 2 – 2\sin^2x – \sin x – 1 \neq 0\)

\(\Leftrightarrow -2\sin^2x – \sin x + 1 \neq 0\)

Đây là một bất phương trình bậc hai với ẩn là \(\sin x\). Ta tìm nghiệm của phương trình \(-2\sin^2x – \sin x + 1 = 0\).

Đặt \(t = \sin x\), với điều kiện \(-1 \leq t \leq 1\). Ta có phương trình: \(-2t^2 – t + 1 = 0\).

Phương trình này có dạng \(a+b+c = -2 – 1 + 1 = -2 \neq 0\). Ta thấy \(a-b+c = -2 – (-1) + 1 = 0\), nên phương trình có hai nghiệm là \(t_1 = -1\) và \(t_2 = -\frac{c}{a} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}\).

Cả hai nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện \(-1 \leq t \leq 1\).

Do đó, điều kiện xác định của phương trình là:
\[ \begin{cases} \sin x \neq -1 \\ \sin x \neq \frac{1}{2} \end{cases} \]

Bước 2: Biến đổi và rút gọn phương trình
Từ việc phân tích mẫu số ở trên, ta có thể viết lại mẫu số dưới dạng nhân tử:

\(-2\sin^2x – \sin x + 1 = -2(\sin x – (-1))(\sin x – \frac{1}{2}) = -2(\sin x + 1)(\sin x – \frac{1}{2}) = (1+\sin x)(1-2\sin x)\)

Vậy mẫu số là: \(2\cos^2x – \sin x – 1 = (1+\sin x)(1-2\sin x)\).

Bây giờ, ta thay vào phương trình ban đầu:
\[ \frac{\cos x(1-2\sin x)}{(1+\sin x)(1-2\sin x)} = \sqrt{3} \]
Vì điều kiện xác định của chúng ta là \(\sin x \neq \frac{1}{2}\), suy ra \(1-2\sin x \neq 0\), nên ta có thể rút gọn biểu thức \(1-2\sin x\) ở cả tử và mẫu.

Phương trình trở thành:
\[ \frac{\cos x}{1+\sin x} = \sqrt{3} \]

Bước 3: Giải phương trình sau khi rút gọn
Ta có:

\(\cos x = \sqrt{3}(1+\sin x)\)

\(\Leftrightarrow \cos x = \sqrt{3} + \sqrt{3}\sin x\)

\(\Leftrightarrow \cos x – \sqrt{3}\sin x = \sqrt{3}\)

Đây là phương trình lượng giác dạng \(a\sin x + b\cos x = c\) với \(a = -\sqrt{3}, b = 1, c = \sqrt{3}\).

Ta chia cả hai vế của phương trình cho \(\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2\).

Phương trình tương đương:

\(\frac{1}{2}\cos x – \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Ta nhận thấy \(\frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3})\) và \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin(\frac{\pi}{3})\). Thay vào phương trình:

\(\cos(\frac{\pi}{3})\cos x – \sin(\frac{\pi}{3})\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Áp dụng công thức cộng \(\cos(A+B) = \cos A \cos B – \sin A \sin B\), ta được:

\(\cos(x + \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Ta biết \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos(\frac{\pi}{6})\), do đó:

\(\cos(x + \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{6})\)

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình \(\cos u = \cos v\), ta có:
\[ \begin{cases} x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + k2\pi \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z}) \]
Giải từng trường hợp:

Trường hợp 1: \(x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{6} – \frac{\pi}{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{6} + k2\pi\)

Trường hợp 2: \(x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + k2\pi \Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{6} – \frac{\pi}{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi\)

Bước 4: Đối chiếu với điều kiện xác định
Bây giờ, chúng ta phải kiểm tra xem các họ nghiệm vừa tìm được có thỏa mãn điều kiện \(\sin x \neq -1\) và \(\sin x \neq \frac{1}{2}\) hay không.

– Với họ nghiệm \(x = -\frac{\pi}{6} + k2\pi\):

Ta có \(\sin x = \sin(-\frac{\pi}{6} + k2\pi) = \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}\).

Giá trị này khác \(-1\) và khác \(\frac{1}{2}\). Vậy họ nghiệm này thỏa mãn điều kiện.

– Với họ nghiệm \(x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi\):

Ta có \(\sin x = \sin(-\frac{\pi}{2} + k2\pi) = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1\).

Giá trị này vi phạm điều kiện \(\sin x \neq -1\). Vậy họ nghiệm này không thỏa mãn (loại).

Bước 5: Kết luận
Sau khi đối chiếu với điều kiện xác định, ta chỉ nhận một họ nghiệm.

Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là:
\[ x = -\frac{\pi}{6} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]