Chào các em! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán phương trình chứa ẩn ở mẫu. Các em hãy mở sách giáo khoa Toán 9, tập 2, trang 13, bài 16 câu a. Cô sẽ hướng dẫn các em từng bước một nhé.

Đề bài của chúng ta là: Giải phương trình 30/(x+4) + 30/(x-4) = 4

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Các em nhớ rằng, trong một phân số, mẫu số phải khác 0. Ở đây, chúng ta có hai mẫu số là (x+4) và (x-4).
Do đó, ta có:
x + 4 ≠ 0 => x ≠ -4
x – 4 ≠ 0 => x ≠ 4

Vậy, điều kiện xác định của phương trình là x ≠ 4 và x ≠ -4. Các giá trị x = 4 và x = -4 sẽ không phải là nghiệm của phương trình này.

Bước 2: Quy đồng mẫu số và đưa về phương trình tương đương.

Mẫu số chung của hai phân thức là (x+4)(x-4).
Chúng ta sẽ nhân cả hai vế của phương trình với mẫu số chung này.

Nhân phân thức thứ nhất với (x-4):
(30(x-4)) / ((x+4)(x-4))

Nhân phân thức thứ hai với (x+4):
(30(x+4)) / ((x-4)(x+4))

Vế phải, ta nhân 4 với (x+4)(x-4).
Lưu ý rằng (x+4)(x-4) chính là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: (x+4)(x-4) = x^2 – 4^2 = x^2 – 16.

Vậy, phương trình trở thành:
(30(x-4)) / ((x+4)(x-4)) + (30(x+4)) / ((x+4)(x-4)) = 4(x^2 – 16)

Bước 3: Khử mẫu số và giải phương trình bậc hai.

Vì các mẫu số đã giống nhau và khác 0 (theo điều kiện xác định), chúng ta có thể bỏ mẫu số đi.

30(x-4) + 30(x+4) = 4(x^2 – 16)

Bây giờ, chúng ta sẽ tiến hành nhân phân phối và rút gọn:

30x – 120 + 30x + 120 = 4x^2 – 64

Kết hợp các hạng tử đồng dạng ở vế trái:
(30x + 30x) + (-120 + 120) = 4x^2 – 64
60x = 4x^2 – 64

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để đưa về dạng phương trình bậc hai ax^2 + bx + c = 0:
0 = 4x^2 – 60x – 64

Hoặc viết lại là:
4x^2 – 60x – 64 = 0

Để phương trình đơn giản hơn, chúng ta có thể chia cả hai vế cho 4 (vì 4, 60, 64 đều chia hết cho 4):
(4x^2)/4 – (60x)/4 – 64/4 = 0/4
x^2 – 15x – 16 = 0

Bước 4: Giải phương trình bậc hai x^2 – 15x – 16 = 0.

Đây là một phương trình bậc hai khuyết hệ số b (nếu coi là ax^2 + bx + c = 0 thì b = 0), hoặc chúng ta có thể giải bằng cách tìm nghiệm hoặc dùng công thức nghiệm. Tuy nhiên, với phương trình này, chúng ta có thể nhẩm nghiệm nhanh chóng.

Ta thấy tổng các hệ số là: 1 + (-15) + (-16) = 1 – 15 – 16 = -30 ≠ 0.
Tích các hệ số là: 1 * (-16) = -16.

Chúng ta tìm hai số mà tích bằng -16 và tổng bằng -15. Hai số đó là 1 và -16.
Do đó, phương trình có thể được phân tích thành nhân tử như sau:
(x + 1)(x – 16) = 0

Từ đó, ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1: x + 1 = 0 => x = -1
Trường hợp 2: x – 16 = 0 => x = 16

Bước 5: Kiểm tra nghiệm với điều kiện xác định.

Chúng ta tìm được hai nghiệm là x = -1 và x = 16.
Bây giờ, chúng ta cần so sánh hai nghiệm này với điều kiện xác định ban đầu là x ≠ 4 và x ≠ -4.

Nghiệm x = -1: Thỏa mãn điều kiện xác định ( -1 ≠ 4 và -1 ≠ -4).
Nghiệm x = 16: Thỏa mãn điều kiện xác định ( 16 ≠ 4 và 16 ≠ -4).

Do đó, cả hai nghiệm này đều là nghiệm của phương trình ban đầu.

Kết luận:

Vậy, tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {-1, 16}.

Các em về nhà làm thêm các bài tập tương tự trong sách giáo khoa để nắm vững hơn cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu nhé. Có chỗ nào chưa hiểu, các em cứ mạnh dạn hỏi cô.