Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập về phương trình lượng giác, một chủ đề rất quan trọng trong chương trình Toán 11. Thầy/Cô sẽ trình bày chi tiết từng bước, kết hợp với những lời giải thích để các em có thể hiểu rõ bản chất của bài toán nhé!

Đề bài: Giải phương trình: sin5x + cos3x = 0

Hướng dẫn giải:

Để giải phương trình này, trước hết chúng ta cần đưa các hàm số về cùng một loại (cùng là sin hoặc cùng là cos) để áp dụng các công thức giải phương trình lượng giác cơ bản. Ở đây, ta thấy có sin5x và cos3x. Chúng ta có thể chuyển cos3x về sin hoặc sin5x về cos.

Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản \( \sin A = \sin B \)

Chúng ta sẽ biến đổi \(\( \cos 3x \)\) thành hàm sin. Để làm điều này, chúng ta sử dụng công thức cung phụ:

Công thức: \(\[ \cos \alpha = \sin \left( \frac{\pi}{2} – \alpha \right) \]\)

Áp dụng công thức trên, ta có:

\(\( \cos 3x = \sin \left( \frac{\pi}{2} – 3x \right) \)\)

Khi đó, phương trình ban đầu \(\( \sin 5x + \cos 3x = 0 \)\) trở thành:

\(\( \sin 5x + \sin \left( \frac{\pi}{2} – 3x \right) = 0 \)\)

Chuyển một hạng tử sang vế phải:

\(\( \sin 5x = – \sin \left( \frac{\pi}{2} – 3x \right) \)\)

Chúng ta biết rằng \(\( – \sin \alpha = \sin (-\alpha) \)\). Áp dụng tính chất này, ta được:

\(\( \sin 5x = \sin \left( – \left( \frac{\pi}{2} – 3x \right) \right) \)\)

\(\( \sin 5x = \sin \left( 3x – \frac{\pi}{2} \right) \)\)

Như vậy, chúng ta đã đưa phương trình về dạng cơ bản \(\( \sin A = \sin B \)\), với \(\( A = 5x \)\) và \(\( B = 3x – \frac{\pi}{2} \)\).

Bước 2: Áp dụng công thức nghiệm tổng quát của phương trình \( \sin A = \sin B \)

Công thức nghiệm tổng quát cho phương trình \(\( \sin A = \sin B \)\) là:

\(\[ \sin A = \sin B \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} A = B + k2\pi \\ A = \pi – B + k2\pi \end{array} \right. \quad (k \in \mathbb{Z}) \]\)

Ở đây, \(\( A = 5x \)\) và \(\( B = 3x – \frac{\pi}{2} \)\). Chúng ta sẽ xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(\( A = B + k2\pi \)\)

Thay \(\( A \)\) và \(\( B \)\) vào công thức:

\(\( 5x = \left( 3x – \frac{\pi}{2} \right) + k2\pi \)\)

Chuyển các hạng tử chứa \(\( x \)\) sang một vế, các hạng tử tự do sang vế còn lại:

\(\( 5x – 3x = – \frac{\pi}{2} + k2\pi \)\)

Thực hiện phép tính:

\(\( 2x = – \frac{\pi}{2} + k2\pi \)\)

Chia cả hai vế cho 2 để tìm \(\( x \)\):

\(\( x = \frac{- \frac{\pi}{2}}{2} + \frac{k2\pi}{2} \)\)

\(\( x = – \frac{\pi}{4} + k\pi \)\) (với \(\( k \)\) là số nguyên)

Trường hợp 2: \(\( A = \pi – B + k2\pi \)\)

Thay \(\( A \)\) và \(\( B \)\) vào công thức:

\(\( 5x = \pi – \left( 3x – \frac{\pi}{2} \right) + k2\pi \)\)

Bỏ ngoặc và đổi dấu các hạng tử bên trong ngoặc:

\(\( 5x = \pi – 3x + \frac{\pi}{2} + k2\pi \)\)

Cộng các hằng số ở vế phải (\(\( \pi + \frac{\pi}{2} \)\)):

\(\( 5x = \frac{2\pi}{2} + \frac{\pi}{2} – 3x + k2\pi \)\)

\(\( 5x = \frac{3\pi}{2} – 3x + k2\pi \)\)

Chuyển \(\( -3x \)\) sang vế trái:

\(\( 5x + 3x = \frac{3\pi}{2} + k2\pi \)\)

Thực hiện phép tính:

\(\( 8x = \frac{3\pi}{2} + k2\pi \)\)

Chia cả hai vế cho 8 để tìm \(\( x \)\):

\(\( x = \frac{\frac{3\pi}{2}}{8} + \frac{k2\pi}{8} \)\)

\(\( x = \frac{3\pi}{16} + \frac{k\pi}{4} \)\) (với \(\( k \)\) là số nguyên)

Kết luận:

Vậy, phương trình \(\( \sin 5x + \cos 3x = 0 \)\) có hai họ nghiệm là:

\(\( x = – \frac{\pi}{4} + k\pi \)\) (với \(\( k \in \mathbb{Z} \)\) )

và

\(\( x = \frac{3\pi}{16} + \frac{k\pi}{4} \)\) (với \(\( k \in \mathbb{Z} \)\) )

Thầy/Cô hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững cách biến đổi và giải phương trình lượng giác cơ bản. Đây là một kỹ năng quan trọng, hãy luyện tập thêm để thành thạo nhé!