Giúp em câu này với ạ
Lim 1/ căn n^2 +2 – căn n^2+4
Lim 1/ căn n^2 +2 – căn n^2+4
Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và giải quyết bài toán này một cách cẩn thận nhé.
Bước 1: Nhận dạng dạng vô định
Khi xét giới hạn của biểu thức đã cho khi \( n \to +\infty \), ta có:
– Tử số là hằng số 1.
– Mẫu số là \( \sqrt{n^2 + 2} – \sqrt{n^2 + 4} \). Khi \( n \to +\infty \), \( n^2 \) cũng tiến ra \( +\infty \). Do đó, cả hai căn thức đều tiến ra \( +\infty \). Ta có dạng vô định \( \infty – \infty \).
Vì gặp dạng vô định \( \infty – \infty \), phương pháp thông thường để xử lý là nhân và chia với biểu thức liên hợp.
Bước 2: Nhân và chia với biểu thức liên hợp
Biểu thức liên hợp của \( \sqrt{n^2 + 2} – \sqrt{n^2 + 4} \) là \( \sqrt{n^2 + 2} + \sqrt{n^2 + 4} \).
Ta tiến hành nhân tử và mẫu với biểu thức này:
\( \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2} – \sqrt{n^2 + 4}} \)
\( = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2} – \sqrt{n^2 + 4}} \times \frac{\sqrt{n^2 + 2} + \sqrt{n^2 + 4}}{\sqrt{n^2 + 2} + \sqrt{n^2 + 4}} \)
Lý do áp dụng phương pháp này là để khử dạng vô định \( \infty – \infty \) ở mẫu số, sử dụng hằng đẳng thức \( (a-b)(a+b) = a^2 – b^2 \).
Bước 3: Rút gọn biểu thức
Áp dụng hằng đẳng thức \( (a-b)(a+b) = a^2 – b^2 \) cho mẫu số:
\( (\sqrt{n^2 + 2})^2 – (\sqrt{n^2 + 4})^2 = (n^2 + 2) – (n^2 + 4) = n^2 + 2 – n^2 – 4 = -2 \)
Vậy, biểu thức giới hạn trở thành:
\( \lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{n^2 + 2} + \sqrt{n^2 + 4}}{-2} \)
Bước 4: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của \(n\)
Bây giờ, ta cần tìm giới hạn của biểu thức \( \frac{\sqrt{n^2 + 2} + \sqrt{n^2 + 4}}{-2} \) khi \( n \to +\infty \).
Trong biểu thức này, ở cả hai căn thức ở tử số, bậc cao nhất của \(n\) là \( n^2 \). Do đó, ta sẽ chia cả tử và mẫu cho \(n\) (hoặc \( \sqrt{n^2} \) đối với các biểu thức trong căn).
\( \lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{n^2(1 + \frac{2}{n^2})} + \sqrt{n^2(1 + \frac{4}{n^2})}}{-2} \)
\( = \lim_{n \to +\infty} \frac{|n|\sqrt{1 + \frac{2}{n^2}} + |n|\sqrt{1 + \frac{4}{n^2}}}{-2} \)
Vì \( n \to +\infty \), nên \( |n| = n \).
\( = \lim_{n \to +\infty} \frac{n\sqrt{1 + \frac{2}{n^2}} + n\sqrt{1 + \frac{4}{n^2}}}{-2} \)
\( = \lim_{n \to +\infty} \frac{n(\sqrt{1 + \frac{2}{n^2}} + \sqrt{1 + \frac{4}{n^2}})}{-2} \)
Lý do chia cho lũy thừa cao nhất của \(n\) là để đưa biểu thức về dạng mà các số hạng có \(n\) ở mẫu sẽ tiến về 0 khi \( n \to +\infty \), giúp ta tính được giới hạn.
Bước 5: Tính giới hạn của từng phần
Khi \( n \to +\infty \):
– \( \frac{2}{n^2} \to 0 \)
– \( \frac{4}{n^2} \to 0 \)
Do đó:
– \( \sqrt{1 + \frac{2}{n^2}} \to \sqrt{1 + 0} = 1 \)
– \( \sqrt{1 + \frac{4}{n^2}} \to \sqrt{1 + 0} = 1 \)
Ta có biểu thức giới hạn trở thành:
\( \lim_{n \to +\infty} \frac{n(1 + 1)}{-2} \)
\( = \lim_{n \to +\infty} \frac{n(2)}{-2} \)
\( = \lim_{n \to +\infty} (-n) \)
Bước 6: Kết luận kết quả cuối cùng
Khi \( n \) tiến ra vô cùng dương, \( -n \) sẽ tiến ra vô cùng âm.
\( \lim_{n \to +\infty} (-n) = -\infty \)
Vậy, giới hạn của biểu thức đã cho là \( -\infty \).
Hy vọng cách giải thích chi tiết này đã giúp em hiểu rõ bài toán. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào khác, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!
Đáp án:
\(-\infty\)
Giải thích các bước giải:
\(\lim\limits \frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}-\sqrt{n^{2}+4}}\)=\(\lim\limits \frac{\sqrt{n^{2}+2}+\sqrt{n^{2}+4}}{n^{2}+2-n^{2}-4}\)=\(\lim\limits \frac{\sqrt{n^{2}+2}+\sqrt{n^{2}+4}}{-2}\)=\(\lim\limits \frac{\sqrt{1+\frac{2}{n^{2}}}+\sqrt{1+\frac{4}{n^{2}}}}{\frac{-2}{n}}\)=\(\lim\limits \frac{2}{-\frac{2}{n}}=-\infty\)