Bài toán của chúng ta là:
Hai ô tô xuất phát cùng một lúc từ thành phố Đồng Xoài đến thành phố Hồ Chí Minh dài 90km. Biết vận tốc xe thứ hai lớn hơn xe thứ nhất 15 km/h nên xe thứ hai đến thành phố Hồ Chí Minh sớm hơn xe thứ nhất 30 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua các bước sau:

Bước 1: Tóm tắt đề bài và xác định yêu cầu của bài toán.
Chúng ta có các thông tin sau:
– Quãng đường từ Đồng Xoài đến TP. Hồ Chí Minh: s = 90 km.
– Vận tốc xe thứ hai lớn hơn xe thứ nhất: v2 = v1 + 15 (km/h).
– Thời gian xe thứ hai đến sớm hơn xe thứ nhất: 30 phút.
– Yêu cầu: Tìm vận tốc của mỗi xe (v1 và v2).

Lưu ý quan trọng: Đơn vị thời gian trong bài toán đang có sự không nhất quán (km, km/h và phút). Chúng ta cần đưa về cùng một đơn vị. Ở đây, chúng ta sẽ đổi 30 phút ra giờ.
30 phút = 30/60 giờ = 0.5 giờ.

Bước 2: Đặt ẩn và biểu diễn các đại lượng chưa biết.
Chúng ta cần tìm vận tốc của mỗi xe. Gọi:
– v1 là vận tốc của xe thứ nhất (km/h). Điều kiện: v1 > 0.
– v2 là vận tốc của xe thứ hai (km/h). Điều kiện: v2 > 0.

Dựa vào đề bài, ta có mối liên hệ giữa hai vận tốc:
v2 = v1 + 15 (km/h).

Bước 3: Biểu diễn thời gian đi của mỗi xe.
Chúng ta áp dụng công thức quen thuộc: thời gian = quãng đường / vận tốc.
– Thời gian xe thứ nhất đi hết quãng đường là:
t1 = s / v1 = 90 / v1 (giờ).

– Thời gian xe thứ hai đi hết quãng đường là:
t2 = s / v2 = 90 / v2 (giờ).

Bước 4: Lập phương trình dựa vào mối quan hệ về thời gian.
Đề bài cho biết xe thứ hai đến sớm hơn xe thứ nhất 30 phút (tức là 0.5 giờ). Điều này có nghĩa là thời gian của xe thứ nhất lớn hơn thời gian của xe thứ hai là 0.5 giờ.
Ta có phương trình:
t1 – t2 = 0.5

Thay biểu thức của t1 và t2 vào phương trình:
(90 / v1) – (90 / v2) = 0.5

Bây giờ, chúng ta sẽ thế v2 = v1 + 15 vào phương trình để đưa về phương trình chỉ có một ẩn v1:
(90 / v1) – (90 / (v1 + 15)) = 0.5

Bước 5: Giải phương trình và tìm ẩn.
Đây là một phương trình chứa ẩn ở mẫu số. Chúng ta cần quy đồng mẫu số để giải.
Điều kiện xác định của phương trình là v1 ≠ 0 và v1 + 15 ≠ 0. Vì v1 là vận tốc nên v1 > 0, điều kiện này luôn thỏa mãn.

Nhân cả hai vế của phương trình với mẫu số chung là v1 * (v1 + 15):
90 (v1 + 15) – 90 v1 = 0.5 v1 (v1 + 15)

Phân phối và rút gọn các hạng tử:
90v1 + 1350 – 90v1 = 0.5 * (v1^2 + 15v1)
1350 = 0.5v1^2 + 7.5v1

Để phương trình gọn gàng hơn, chúng ta có thể nhân cả hai vế với 2:
2 1350 = 2 (0.5v1^2 + 7.5v1)
2700 = v1^2 + 15v1

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để được phương trình bậc hai:
v1^2 + 15v1 – 2700 = 0

Bây giờ, chúng ta sẽ giải phương trình bậc hai này. Các em có thể sử dụng công thức nghiệm hoặc phương pháp phân tích thành nhân tử. Ở đây, thầy sẽ sử dụng phương pháp tính delta.

Tính delta (Δ):
Δ = b^2 – 4ac
Với a = 1, b = 15, c = -2700.
Δ = 15^2 – 4 1 (-2700)
Δ = 225 + 10800
Δ = 11025

Tính căn bậc hai của delta:
√Δ = √11025 = 105

Tính hai nghiệm của phương trình:
v1_1 = (-b + √Δ) / 2a
v1_1 = (-15 + 105) / (2 * 1)
v1_1 = 90 / 2
v1_1 = 45

v1_2 = (-b – √Δ) / 2a
v1_2 = (-15 – 105) / (2 * 1)
v1_2 = -120 / 2
v1_2 = -60

Bước 6: Kiểm tra điều kiện và kết luận.
Chúng ta có hai giá trị cho v1 là 45 và -60.
Vì vận tốc không thể âm, nên chúng ta loại nghiệm v1 = -60.
Vậy, vận tốc của xe thứ nhất là v1 = 45 km/h.

Bây giờ, chúng ta tìm vận tốc của xe thứ hai:
v2 = v1 + 15
v2 = 45 + 15
v2 = 60 km/h.

Để chắc chắn, chúng ta cùng kiểm tra lại:
Thời gian xe thứ nhất đi: t1 = 90 km / 45 km/h = 2 giờ.
Thời gian xe thứ hai đi: t2 = 90 km / 60 km/h = 1.5 giờ.
Chênh lệch thời gian: t1 – t2 = 2 giờ – 1.5 giờ = 0.5 giờ = 30 phút.
Kết quả này hoàn toàn khớp với đề bài.

Kết luận:
Vậy, vận tốc của xe thứ nhất là 45 km/h và vận tốc của xe thứ hai là 60 km/h.

Các em thấy đó, với việc phân tích kỹ đề bài, đặt ẩn hợp lý, lập phương trình chính xác và giải phương trình cẩn thận, chúng ta đã giải quyết thành công bài toán này. Hãy luôn nhớ quy đổi đơn vị và kiểm tra lại kết quả cuối cùng nhé!

Chúc các em học tốt!