Bài toán cho chúng ta biết về hai quả cầu kim loại nhỏ hoàn toàn giống nhau, ban đầu mang các điện tích q1 và q2, đặt cách nhau một khoảng r trong không khí và tương tác với nhau bằng một lực F. Sau đó, hai quả cầu này được cho tiếp xúc với nhau, rồi lại đặt cách nhau cùng khoảng r nhưng lần này là trong một lớp điện môi và lực tương tác giữa chúng vẫn là F. Yêu cầu của bài toán là chúng ta cần đi tính hằng số điện môi của lớp điện môi đó.

Thầy sẽ hướng dẫn các em giải bài tập này một cách chi tiết, từng bước một, bám sát theo kiến thức trong Sách giáo khoa.

Bước 1: Phân tích tình huống ban đầu

Ban đầu, chúng ta có hai quả cầu kim loại giống nhau mang điện tích q1 và q2, đặt trong không khí cách nhau một khoảng r. Lực tương tác giữa chúng là lực đẩy F. Theo định luật Coulomb, lực tương tác tĩnh điện giữa hai điện tích điểm được tính bằng công thức:

\[ F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \]

Ở đây, k là hằng số Coulomb trong chân không (hoặc không khí, vì ta coi không khí có chiết suất tương đương chân không), và có giá trị \( k \approx 9.10^9 \, \text{N m}^2/\text{C}^2 \).
Trong trường hợp này, q1 = 3.10^-9 C và q2 = 12.10^-9 C. Vì cả hai điện tích đều dương, nên lực tương tác là lực đẩy. Gọi lực này là F1.
Ta có:
\[ F_1 = k \frac{|(3.10^{-9})(12.10^{-9})|}{r^2} \]
Theo đề bài, lực này bằng F. Vậy:
\[ F = k \frac{36.10^{-18}}{r^2} \] (1)

Bước 2: Phân tích tình huống sau khi hai quả cầu tiếp xúc

Khi hai quả cầu kim loại hoàn toàn giống nhau tiếp xúc với nhau, điện tích sẽ được phân bố lại đều cho cả hai quả cầu. Tổng điện tích của hệ hai quả cầu là:
\( q_{tổng} = q_1 + q_2 = 3.10^{-9} \, \text{C} + 12.10^{-9} \, \text{C} = 15.10^{-9} \, \text{C} \)

Do hai quả cầu giống nhau, nên sau khi tiếp xúc, mỗi quả cầu sẽ mang một nửa tổng điện tích đó. Gọi điện tích của mỗi quả cầu sau khi tiếp xúc là q’.
\( q’ = \frac{q_{tổng}}{2} = \frac{15.10^{-9}}{2} \, \text{C} \)

Sau khi tiếp xúc, hai quả cầu này được đặt lại cách nhau cùng một khoảng r, nhưng lần này là trong một lớp điện môi. Lực tương tác giữa chúng được cho là vẫn bằng F.
Công thức tính lực tương tác tĩnh điện trong môi trường điện môi là:

\[ F_{môi trường} = k \frac{|q’_1 q’_2|}{ \epsilon r^2 } \]

Trong đó, \( \epsilon \) là hằng số điện môi của môi trường.
Vì hai quả cầu giống nhau và mỗi quả mang điện tích q’, nên ta có \( q’_1 = q’_2 = q’ \). Lực tương tác lúc này là F2.
\[ F_2 = k \frac{(q’)^2}{\epsilon r^2} \]
Thay giá trị \( q’ = \frac{15.10^{-9}}{2} \) vào, ta được:
\[ F_2 = k \frac{\left(\frac{15.10^{-9}}{2}\right)^2}{\epsilon r^2} \]
\[ F_2 = k \frac{\frac{225.10^{-18}}{4}}{\epsilon r^2} \]
\[ F_2 = \frac{1}{ \epsilon } \left( k \frac{225.10^{-18}}{4r^2} \right) \]

Theo đề bài, lực tương tác trong môi trường điện môi cũng bằng F. Vậy \( F_2 = F \).
\[ F = \frac{1}{ \epsilon } \left( k \frac{225.10^{-18}}{4r^2} \right) \] (2)

Bước 3: Thiết lập phương trình và giải

Chúng ta có hai biểu thức cho lực F ở hai trường hợp:
Từ (1): \( F = k \frac{36.10^{-18}}{r^2} \)
Từ (2): \( F = \frac{1}{ \epsilon } \left( k \frac{225.10^{-18}}{4r^2} \right) \)

Vì vế trái của hai phương trình bằng nhau (đều là F), nên vế phải của chúng cũng bằng nhau:
\[ k \frac{36.10^{-18}}{r^2} = \frac{1}{ \epsilon } \left( k \frac{225.10^{-18}}{4r^2} \right) \]

Bây giờ, chúng ta tiến hành rút gọn phương trình này để tìm \( \epsilon \).
Ta có thể triệt tiêu các đại lượng giống nhau ở cả hai vế: k và \( r^2 \).
\[ 36.10^{-18} = \frac{1}{ \epsilon } \left( \frac{225.10^{-18}}{4} \right) \]

Triệt tiêu \( 10^{-18} \) ở cả hai vế:
\[ 36 = \frac{1}{ \epsilon } \left( \frac{225}{4} \right) \]

Bây giờ, chúng ta cần tìm \( \epsilon \). Nhân cả hai vế với \( \epsilon \):
\[ 36 \epsilon = \frac{225}{4} \]

Chia cả hai vế cho 36 để tìm \( \epsilon \):
\[ \epsilon = \frac{225}{4 \times 36} \]
\[ \epsilon = \frac{225}{144} \]

Ta có thể rút gọn phân số này. Cả 225 và 144 đều chia hết cho 9.
\( 225 \div 9 = 25 \)
\( 144 \div 9 = 16 \)

Vậy:
\[ \epsilon = \frac{25}{16} \]

Ta có thể đổi ra số thập phân:
\( \epsilon = 1.5625 \)

Kết luận:

Vậy, hằng số điện môi của lớp điện môi đó là \( \epsilon = \frac{25}{16} \) hoặc \( \epsilon = 1.5625 \).

Như vậy, chúng ta đã hoàn thành bài tập một cách chi tiết. Các em thấy đó, chỉ cần nắm vững định luật Coulomb và cách xử lý khi hai vật dẫn tiếp xúc, chúng ta có thể giải quyết bài toán này một cách dễ dàng.

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em cứ mạnh dạn hỏi thầy nhé! Chúc các em học tốt!