Chào các em học sinh yêu quý của thầy/cô! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán khai triển nhị thức Newton quen thuộc. Bài tập này giúp chúng ta củng cố kiến thức về tam giác Pascal và công thức khai triển nhị thức.

Chúng ta sẽ khai triển biểu thức (x – 2y)^5.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton. Công thức này cho phép chúng ta khai triển biểu thức dạng (a + b)^n thành tổng của các số hạng.

Công thức khai triển nhị thức Newton là:
\[ (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \]
trong đó:
– n là số mũ của nhị thức.
– k là chỉ số chạy từ 0 đến n.
– \(\binom{n}{k}\) là tổ hợp chập k của n, được tính bằng \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\).

Trong bài toán của chúng ta, ta có:
– \(a = x\)
– \(b = -2y\)
– \(n = 5\)

Bây giờ, chúng ta sẽ đi vào từng bước khai triển chi tiết:

Bước 1: Xác định các hệ số trong tam giác Pascal
Với số mũ n = 5, chúng ta cần tìm các hệ số trong dòng thứ 5 của tam giác Pascal (bắt đầu từ dòng 0). Các hệ số này chính là các giá trị của \(\binom{5}{k}\) với k chạy từ 0 đến 5.
Dòng thứ 5 của tam giác Pascal là: 1, 5, 10, 10, 5, 1.
Nghĩa là:
– \(\binom{5}{0} = 1\)
– \(\binom{5}{1} = 5\)
– \(\binom{5}{2} = 10\)
– \(\binom{5}{3} = 10\)
– \(\binom{5}{4} = 5\)
– \(\binom{5}{5} = 1\)

Bước 2: Áp dụng công thức khai triển cho từng số hạng
Ta sẽ lần lượt thay các giá trị của a, b, n và các hệ số vào công thức khai triển.

Số hạng thứ nhất (k=0):
\(\binom{5}{0} x^{5-0} (-2y)^0 = 1 \cdot x^5 \cdot 1 = x^5\)

Số hạng thứ hai (k=1):
\(\binom{5}{1} x^{5-1} (-2y)^1 = 5 \cdot x^4 \cdot (-2y) = -10x^4y\)

Số hạng thứ ba (k=2):
\(\binom{5}{2} x^{5-2} (-2y)^2 = 10 \cdot x^3 \cdot (4y^2) = 40x^3y^2\)

Số hạng thứ tư (k=3):
\(\binom{5}{3} x^{5-3} (-2y)^3 = 10 \cdot x^2 \cdot (-8y^3) = -80x^2y^3\)

Số hạng thứ năm (k=4):
\(\binom{5}{4} x^{5-4} (-2y)^4 = 5 \cdot x^1 \cdot (16y^4) = 80xy^4\)

Số hạng thứ sáu (k=5):
\(\binom{5}{5} x^{5-5} (-2y)^5 = 1 \cdot x^0 \cdot (-32y^5) = -32y^5\)

Bước 3: Tổng hợp các số hạng để có kết quả cuối cùng
Bây giờ, chúng ta cộng tất cả các số hạng đã tính toán ở Bước 2 lại:
(x – 2y)^5 = \(x^5 + (-10x^4y) + 40x^3y^2 + (-80x^2y^3) + 80xy^4 + (-32y^5)\)

Kết quả cuối cùng là:
(x – 2y)^5 = \(x^5 – 10x^4y + 40x^3y^2 – 80x^2y^3 + 80xy^4 – 32y^5\)

Hy vọng với cách trình bày chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn về cách khai triển nhị thức Newton. Hãy luyện tập thêm với các bài tập khác để nắm vững hơn kiến thức này nhé! Chúc các em học tốt!