Chào các em, thầy/cô rất vui được hướng dẫn các em giải bài tập lượng giác thú vị này. Đây là một dạng bài điển hình giúp chúng ta vận dụng linh hoạt các công thức biến đổi lượng giác đã học trong chương trình lớp 11.

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm mối liên hệ giữa góc \( \frac{\pi}{8} \) với một góc đặc biệt mà chúng ta đã biết giá trị lượng giác của nó. Ta dễ dàng nhận thấy rằng \( 2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \), và \( \frac{\pi}{4} \) là một góc rất quen thuộc.

Vì vậy, phương pháp hợp lý nhất ở đây là sử dụng công thức góc nhân đôi.

Dưới đây là các bước giải chi tiết:

• Bước 1: Xác định công thức và hướng tiếp cận
  
  Chúng ta sẽ sử dụng công thức nhân đôi cho hàm tang:
  \[ \tan(2a) = \frac{2\tan a}{1 – \tan^2 a} \]
  Áp dụng công thức này với \( a = \frac{\pi}{8} \), ta sẽ có \( 2a = \frac{\pi}{4} \).
• Bước 2: Thay số và thiết lập phương trình
  
  Thay \( a = \frac{\pi}{8} \) vào công thức trên, ta được:
  \[ \tan\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \frac{2\tan\left(\frac{\pi}{8}\right)}{1 – \tan^2\left(\frac{\pi}{8}\right)} \]
  Rút gọn vế trái, ta có:
  \[ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{2\tan\left(\frac{\pi}{8}\right)}{1 – \tan^2\left(\frac{\pi}{8}\right)} \]
  Chúng ta đều biết giá trị đặc biệt \( \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \). Thay giá trị này vào phương trình:
  \[ 1 = \frac{2\tan\left(\frac{\pi}{8}\right)}{1 – \tan^2\left(\frac{\pi}{8}\right)} \]
• Bước 3: Giải phương trình để tìm \( \tan\left(\frac{\pi}{8}\right) \)
  
  Để cho việc tính toán đơn giản hơn, ta đặt \( t = \tan\left(\frac{\pi}{8}\right) \). Phương trình trở thành:
  \[ 1 = \frac{2t}{1 – t^2} \]
  Bây giờ, ta sẽ giải phương trình này để tìm \( t \). Với điều kiện \( 1 – t^2 \neq 0 \), ta nhân chéo hai vế:
  
  \( 1 – t^2 = 2t \)
  
  Chuyển tất cả các hạng tử về một vế, ta được một phương trình bậc hai:
  \[ t^2 + 2t – 1 = 0 \]
  Ta sẽ giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm (hoặc tính delta phẩy cho nhanh):
  
  Ta có \( \Delta’ = 1^2 – 1 \cdot (-1) = 1 + 1 = 2 \).
  
  Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
  • \( t_1 = \frac{-1 – \sqrt{\Delta’}}{1} = -1 – \sqrt{2} \)
  • \( t_2 = \frac{-1 + \sqrt{\Delta’}}{1} = \sqrt{2} – 1 \)
• Bước 4: Lập luận để chọn nghiệm phù hợp
  
  Chúng ta đã tìm được hai giá trị có thể của \( t \), tức là của \( \tan\left(\frac{\pi}{8}\right) \). Bây giờ ta cần xác định đâu là giá trị đúng.
  
  Ta xét góc \( \frac{\pi}{8} \). Vì \( 0 < \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{2} \), góc \( \frac{\pi}{8} \) nằm ở góc phần tư thứ nhất trên đường tròn lượng giác.
  Trong góc phần tư thứ nhất, tất cả các giá trị sin, cos, tan, cot đều dương. Do đó, \( \tan\left(\frac{\pi}{8}\right) \) phải lớn hơn 0.
  
  So sánh hai nghiệm ta tìm được:
  • Nghiệm \( t_1 = -1 – \sqrt{2} < 0 \). Ta loại nghiệm này.
  • Nghiệm \( t_2 = \sqrt{2} – 1 \). Vì \( \sqrt{2} \approx 1.414 \), nên \( \sqrt{2} – 1 > 0 \). Ta nhận nghiệm này.

Kết luận:

Vậy, giá trị của \( \tan\left(\frac{\pi}{8}\right) \) là \( \sqrt{2} – 1 \).

\[ \tan\left(\frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{2} – 1 \]

Hi vọng với cách giải thích từng bước này, các em đã hiểu rõ cách vận dụng công thức và tư duy để giải quyết bài toán. Chúc các em học tốt