Chúng ta sẽ đi vào câu hỏi đầu tiên:

Câu 1: Tính đạo hàm của hàm số y = tan(2x) + cot(2x)

Để làm bài này, chúng ta cần nhớ lại các công thức đạo hàm cơ bản sau:
– Đạo hàm của tan(u) là \( (\tan u)’ = \frac{1}{\cos^2 u} \cdot u’ \)
– Đạo hàm của cot(u) là \( (\cot u)’ = -\frac{1}{\sin^2 u} \cdot u’ \)
– Đạo hàm của 2x là \( (2x)’ = 2 \)

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng các công thức này vào bài toán.

Bước 1: Tính đạo hàm của tan(2x).
Ở đây, \( u = 2x \), vậy \( u’ = (2x)’ = 2 \).
Do đó, đạo hàm của tan(2x) là:
\( (\tan(2x))’ = \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot (2x)’ = \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot 2 = \frac{2}{\cos^2(2x)} \)

Bước 2: Tính đạo hàm của cot(2x).
Tương tự, ở đây \( u = 2x \), vậy \( u’ = (2x)’ = 2 \).
Do đó, đạo hàm của cot(2x) là:
\( (\cot(2x))’ = -\frac{1}{\sin^2(2x)} \cdot (2x)’ = -\frac{1}{\sin^2(2x)} \cdot 2 = -\frac{2}{\sin^2(2x)} \)

Bước 3: Cộng đạo hàm của hai hàm số lại.
Hàm số \( y = \tan(2x) + \cot(2x) \), vậy đạo hàm của y sẽ là tổng đạo hàm của từng thành phần:
\( y’ = (\tan(2x))’ + (\cot(2x))’ \)
\( y’ = \frac{2}{\cos^2(2x)} – \frac{2}{\sin^2(2x)} \)

Bước 4: Rút gọn biểu thức (nếu có thể).
Chúng ta có thể đặt 2 ra ngoài làm nhân tử chung:
\( y’ = 2 \left( \frac{1}{\cos^2(2x)} – \frac{1}{\sin^2(2x)} \right) \)
Để rút gọn tiếp, chúng ta quy đồng mẫu số:
\( y’ = 2 \left( \frac{\sin^2(2x) – \cos^2(2x)}{\cos^2(2x) \sin^2(2x)} \right) \)
Chúng ta có thể sử dụng công thức lượng giác \( \sin^2 \alpha – \cos^2 \alpha = -(\cos^2 \alpha – \sin^2 \alpha) = -\cos(2\alpha) \).
Áp dụng vào đây với \( \alpha = 2x \), ta có: \( \sin^2(2x) – \cos^2(2x) = -\cos(2 \cdot 2x) = -\cos(4x) \).
Và mẫu số có thể được viết lại như sau: \( \cos^2(2x) \sin^2(2x) = (\sin(2x)\cos(2x))^2 \).
Nhớ lại công thức \( \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha \), suy ra \( \sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha) \).
Vậy, \( \sin(2x)\cos(2x) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 2x) = \frac{1}{2}\sin(4x) \).
Do đó, \( (\sin(2x)\cos(2x))^2 = \left(\frac{1}{2}\sin(4x)\right)^2 = \frac{1}{4}\sin^2(4x) \).

Thay thế vào biểu thức đạo hàm:
\( y’ = 2 \left( \frac{-\cos(4x)}{\frac{1}{4}\sin^2(4x)} \right) \)
\( y’ = 2 \cdot \frac{-\cos(4x)}{\frac{1}{4}\sin^2(4x)} = 8 \cdot \frac{-\cos(4x)}{\sin^2(4x)} = -8 \frac{\cos(4x)}{\sin^2(4x)} \)
\( y’ = -8 \cdot \frac{1}{\sin(4x)} \cdot \frac{\cos(4x)}{\sin(4x)} \)
\( y’ = -8 \cdot \csc(4x) \cdot \cot(4x) \)

Vậy, đạo hàm của hàm số y = tan(2x) + cot(2x) là \( y’ = -8 \csc(4x) \cot(4x) \).

—

Bây giờ, chúng ta sẽ sang câu hỏi thứ hai:

Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số y = sin(x) / x

Đối với hàm số này, chúng ta sẽ áp dụng công thức đạo hàm của một thương:
\( \left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2} \)
Trong đó:
– \( u = \sin(x) \)
– \( v = x \)

Bước 1: Tìm đạo hàm của u.
\( u’ = (\sin(x))’ = \cos(x) \)

Bước 2: Tìm đạo hàm của v.
\( v’ = (x)’ = 1 \)

Bước 3: Áp dụng công thức đạo hàm của thương.
\( y’ = \frac{u’v – uv’}{v^2} \)
\( y’ = \frac{(\cos(x))(x) – (\sin(x))(1)}{x^2} \)
\( y’ = \frac{x\cos(x) – \sin(x)}{x^2} \)

Vậy, đạo hàm của hàm số y = sin(x) / x là \( y’ = \frac{x\cos(x) – \sin(x)}{x^2} \).

Các em xem lại từng bước xem có chỗ nào chưa hiểu không nhé. Nếu có, cứ mạnh dạn hỏi cô. Chúc các em học tốt!