MN ơi. Thế nào là tổng bình phương 2 nghiệm, tổng 2 nghiệm bình phương , tổng ng…

Chào các em học sinh thân mến! Cô rất vui được giúp các em làm rõ những thắc mắc về các khái niệm liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai. Đây là những kiến thức rất quan trọng và thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra đó các em nhé.

Đầu tiên, chúng ta cùng nhắc lại kiến thức cơ bản về phương trình bậc hai và Định lí Viète mà chúng ta đã học ở lớp 9.

Một phương trình bậc hai có dạng tổng quát là:

$a{x}^2+bx+c=0$
(với
$a\ne 0$)

Nếu phương trình có hai nghiệm
$x_1$
và
$x_2$
(nghiệm này có thể phân biệt hoặc trùng nhau), thì theo Định lí Viète, chúng ta có các công thức sau:

1. Tổng hai nghiệm (S):

$S=x_1+x_2=–\frac{b}{a}$

2. Tích hai nghiệm (P):

$P=x_1{x}_2=\frac{c}{a}$

Bây giờ, chúng ta sẽ lần lượt tìm hiểu về các biểu thức mà em đã hỏi nhé:

1. Thế nào là tổng bình phương 2 nghiệm?

“Tổng bình phương 2 nghiệm” có nghĩa là chúng ta lấy bình phương của từng nghiệm rồi cộng chúng lại với nhau.

Biểu thức toán học là:
$x_1^2+x_2^2$

Cách tính:

Để tính giá trị này mà không cần giải phương trình để tìm từng nghiệm
$x_1$
,
$x_2$
, chúng ta sẽ sử dụng công thức Viète và các hằng đẳng thức đáng nhớ đã học ở lớp 8.

Bước 1: Nhớ lại hằng đẳng thức bình phương của một tổng:

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức này cho
$x_1$
và
$x_2$
:

$(x_1+x_2{)}^2=x_1^2+mn{x}_1{x}_2+x_2^2$

Bước 3: Từ đây, chúng ta rút ra được biểu thức của “tổng bình phương 2 nghiệm”:

$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2–mn{x}_1{x}_2$

Giải thích lý do: Chúng ta áp dụng hằng đẳng thức và biến đổi để đưa biểu thức
$x_1^2+x_2^2$
về dạng chỉ chứa tổng (
$x_1+x_2$
) và tích (
$x_1{x}_2$
) của hai nghiệm. Sau đó, chúng ta có thể thay các giá trị
$S$
và
$P$
từ Định lí Viète vào để tính mà không cần tìm nghiệm cụ thể.

2. Thế nào là tổng 2 nghiệm bình phương?

Cụm từ “tổng 2 nghiệm bình phương” có cách diễn đạt hơi lúng túng một chút và có thể gây nhầm lẫn với “tổng bình phương 2 nghiệm”. Tuy nhiên, theo cách hiểu thông thường và để phân biệt với ý trên, “tổng 2 nghiệm bình phương” thường được hiểu là “bình phương của tổng hai nghiệm”.

Điều này có nghĩa là chúng ta tính tổng của hai nghiệm trước, sau đó mới lấy kết quả đó bình phương.

Biểu thức toán học là:
$(x_1+x_2{)}^2$

Cách tính:

Đây là biểu thức trực tiếp từ tổng hai nghiệm của Định lí Viète.

Bước 1: Xác định tổng hai nghiệm theo Viète:

$x_1+x_2=–\frac{b}{a}$

Bước 2: Lấy tổng đó bình phương:

$(x_1+x_2{)}^2={\left(–\frac{b}{a}\right)}^2=\frac{b^2}{a^2}$

Giải thích lý do: Biểu thức này đã trực tiếp là bình phương của tổng hai nghiệm (S), nên chúng ta chỉ cần áp dụng công thức tổng hai nghiệm từ Định lí Viète.

Lưu ý quan trọng: Hãy thật cẩn thận với cách dùng từ ngữ trong toán học nhé các em!

• “Tổng bình phương 2 nghiệm” là
  $x_1^2+x_2^2$
• “Bình phương của tổng 2 nghiệm” (hoặc đôi khi bị nhầm lẫn thành “tổng 2 nghiệm bình phương”) là
  $(x_1+x_2{)}^2$

Hai biểu thức này khác nhau hoàn toàn nhé! Ví dụ, nếu
$x_1=1$
và
$x_2=2$
:
Tổng bình phương 2 nghiệm là
$1^2+2^2=1+4=5$

Bình phương của tổng 2 nghiệm là
$(1+2{)}^2=3^2=9$

3. Thế nào là tổng nghịch đảo 2 nghiệm?

“Tổng nghịch đảo 2 nghiệm” có nghĩa là chúng ta lấy nghịch đảo của từng nghiệm rồi cộng chúng lại với nhau.

Biểu thức toán học là:
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$

Điều kiện: Để các nghịch đảo này tồn tại, các nghiệm
$x_1$
và
$x_2$
phải khác 0. Điều này có nghĩa là tích
$P=x_1{x}_2\ne 0$
. Hay nói cách khác, hệ số
$c\ne 0$
.

Cách tính:

Chúng ta sẽ quy đồng mẫu số và sau đó thay các giá trị tổng (S) và tích (P) từ Định lí Viète vào.

Bước 1: Quy đồng mẫu số cho hai phân số:

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2}{x_1{x}_2}+\frac{x_1}{x_1{x}_2}$

Bước 2: Cộng các tử số lại với nhau:

$\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}$

Bước 3: Thay các giá trị tổng (S) và tích (P) từ Định lí Viète:

$\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}=\frac{S}{P}=\frac{–\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=–\frac{b}{a}-\frac{a}{c}=–\frac{b}{c}$

Giải thích lý do: Chúng ta quy đồng mẫu số để đưa tổng nghịch đảo về dạng phân số có tử số là tổng hai nghiệm và mẫu số là tích hai nghiệm. Như vậy, chúng ta có thể dễ dàng thay thế bằng các công thức Viète để tính toán mà không cần giải phương trình.

Cô hy vọng với phần giải thích chi tiết này, em đã hiểu rõ hơn về các khái niệm và cách tính các biểu thức liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai rồi nhé. Cố gắng luyện tập thêm để thành thạo phần này nha!