Bài toán cho chúng ta biết về tốc độ bơm nước vào bể chứa, được biểu diễn bởi hàm đạo hàm \(h'(t) = 6at^2 + 2bt\). Chúng ta cũng biết rằng ban đầu bể không có nước, tức là \(h(0) = 0\). Thêm vào đó, chúng ta có hai thông tin quan trọng về thể tích nước tại hai thời điểm khác nhau: sau 3 giây thì thể tích là \(90 \, m^3\), và sau 6 giây thì thể tích là \(504 \, m^3\). Mục tiêu của chúng ta là tìm thể tích nước trong bể sau 9 giây.

Các em còn nhớ mối quan hệ giữa thể tích và tốc độ bơm nước không? Đúng rồi, thể tích nước \(h(t)\) là nguyên hàm của tốc độ bơm nước \(h'(t)\).

Bước 1: Tìm hàm thể tích \(h(t)\)

Chúng ta có \(h'(t) = 6at^2 + 2bt\). Để tìm \(h(t)\), chúng ta sẽ lấy tích phân của \(h'(t)\) theo biến \(t\):

\(h(t) = \int h'(t) dt = \int (6at^2 + 2bt) dt\)

Áp dụng quy tắc tích phân của hàm đa thức, ta được:

\(h(t) = 6a \int t^2 dt + 2b \int t dt\)
\(h(t) = 6a \left( \frac{t^3}{3} \right) + 2b \left( \frac{t^2}{2} \right) + C\)
\(h(t) = 2at^3 + bt^2 + C\)

Ở đây, \(C\) là hằng số tích phân.

Bước 2: Sử dụng điều kiện ban đầu để tìm hằng số C

Đề bài cho biết ban đầu bể không có nước, tức là khi \(t=0\), thể tích nước \(h(0)=0\). Chúng ta thay \(t=0\) vào biểu thức của \(h(t)\):

\(h(0) = 2a(0)^3 + b(0)^2 + C\)
\(0 = 0 + 0 + C\)
Vậy \(C = 0\).

Do đó, hàm thể tích nước trong bể là:

\(h(t) = 2at^3 + bt^2\)

Bước 3: Sử dụng các thông tin đã cho để lập hệ phương trình với a và b

Chúng ta có hai thông tin về thể tích tại các thời điểm khác nhau:
1. Sau 3 giây, thể tích là \(90 \, m^3\). Nghĩa là \(h(3) = 90\).
Thay \(t=3\) vào \(h(t)\):
\(h(3) = 2a(3)^3 + b(3)^2 = 2a(27) + b(9) = 54a + 9b\)
Ta có phương trình: \(54a + 9b = 90\) (1)

2. Sau 6 giây, thể tích là \(504 \, m^3\). Nghĩa là \(h(6) = 504\).
Thay \(t=6\) vào \(h(t)\):
\(h(6) = 2a(6)^3 + b(6)^2 = 2a(216) + b(36) = 432a + 36b\)
Ta có phương trình: \(432a + 36b = 504\) (2)

Bây giờ, chúng ta cần giải hệ phương trình này để tìm giá trị của \(a\) và \(b\).

Bước 4: Giải hệ phương trình để tìm a và b

Ta có hệ phương trình:
(1) \(54a + 9b = 90\)
(2) \(432a + 36b = 504\)

Có nhiều cách để giải hệ này. Cô sẽ chia cả hai vế của phương trình (1) cho 9 để làm gọn nó:
\(6a + b = 10\)
Từ đây, ta rút ra \(b = 10 – 6a\).

Tiếp theo, chúng ta thay biểu thức của \(b\) vào phương trình (2):
\(432a + 36(10 – 6a) = 504\)
\(432a + 360 – 216a = 504\)
\(216a = 504 – 360\)
\(216a = 144\)
\(a = \frac{144}{216}\)

Chúng ta có thể rút gọn phân số này. Cả tử và mẫu đều chia hết cho 72:
\(a = \frac{144 \div 72}{216 \div 72} = \frac{2}{3}\)

Bây giờ, chúng ta tìm \(b\) bằng cách thay \(a = \frac{2}{3}\) vào \(b = 10 – 6a\):
\(b = 10 – 6\left(\frac{2}{3}\right)\)
\(b = 10 – \frac{12}{3}\)
\(b = 10 – 4\)
\(b = 6\)

Vậy, chúng ta đã tìm được \(a = \frac{2}{3}\) và \(b = 6\).

Bước 5: Viết lại hàm thể tích \(h(t)\) với các giá trị a và b đã tìm được

Thay \(a = \frac{2}{3}\) và \(b = 6\) vào biểu thức \(h(t) = 2at^3 + bt^2\):

\(h(t) = 2\left(\frac{2}{3}\right)t^3 + 6t^2\)
\(h(t) = \frac{4}{3}t^3 + 6t^2\)

Bước 6: Tính thể tích của lượng nước trong bể sau khi bơm được 9 giây

Cuối cùng, chúng ta cần tính \(h(9)\). Thay \(t=9\) vào biểu thức \(h(t)\) vừa tìm được:

\(h(9) = \frac{4}{3}(9)^3 + 6(9)^2\)
\(h(9) = \frac{4}{3}(729) + 6(81)\)

Thực hiện phép tính:
\(h(9) = 4 \times \frac{729}{3} + 486\)
\(h(9) = 4 \times 243 + 486\)
\(h(9) = 972 + 486\)
\(h(9) = 1458\)

Vậy, thể tích của lượng nước trong bể sau khi bơm được 9 giây là \(1458 \, m^3\).

Các em thấy đấy, bằng cách vận dụng kiến thức về nguyên hàm và giải hệ phương trình, chúng ta đã giải quyết được bài toán thực tế này. Các em có thắc mắc gì không? Nếu không, chúng ta sẽ sang bài tập tiếp theo nhé!