Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị về tổ hợp, liên quan đến việc chọn người để ghép cặp. Bài toán này thuộc chủ đề Tổ hợp và xác suất, một phần quan trọng trong chương trình Toán lớp 11 của chúng ta.

Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích bài toán và đi từng bước để tìm ra đáp án chính xác.

Bước 1: Phân tích bài toán và xác định các yêu cầu

Bài toán yêu cầu chúng ta thực hiện hai công việc chính:
1. Chọn ra 3 nam từ 10 nam.
2. Chọn ra 3 nữ từ 6 nữ.
Sau khi đã chọn được đủ số lượng nam và nữ, chúng ta sẽ ghép họ thành 3 cặp.

Điều quan trọng cần lưu ý ở đây là thứ tự chọn nam hay chọn nữ không quan trọng, và thứ tự ghép cặp cũng không quan trọng trong bước chọn. Chúng ta chỉ cần chọn ra đủ số lượng.

Bước 2: Áp dụng công thức chọn tổ hợp

Khi chúng ta cần chọn ra một số lượng đối tượng từ một tập hợp mà thứ tự chọn không quan trọng, chúng ta sẽ sử dụng công thức tổ hợp.

Công thức tổ hợp chập k của n phần tử được cho bởi:
C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
Trong đó:
– n là tổng số phần tử trong tập hợp.
– k là số phần tử cần chọn.
– “!” là ký hiệu giai thừa (ví dụ: 5! = 5 4 3 2 1).

Bước 3: Tính số cách chọn 3 nam từ 10 nam

Ở đây, chúng ta có 10 nam (n = 10) và cần chọn 3 nam (k = 3).
Số cách chọn 3 nam từ 10 nam là:
C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!)
C(10, 3) = 10! / (3! * 7!)
C(10, 3) = (10 9 8 7!) / ( (3 2 1) 7!)
C(10, 3) = (10 9 8) / (3 2 1)
C(10, 3) = 720 / 6
C(10, 3) = 120 cách.

Lý do chúng ta dùng tổ hợp ở đây là vì việc chọn nam thứ nhất, nam thứ hai, nam thứ ba không tạo ra sự khác biệt so với việc chọn nam thứ hai, nam thứ nhất, nam thứ ba. Chúng ta chỉ quan tâm đến nhóm 3 nam được chọn.

Bước 4: Tính số cách chọn 3 nữ từ 6 nữ

Tương tự, chúng ta có 6 nữ (n = 6) và cần chọn 3 nữ (k = 3).
Số cách chọn 3 nữ từ 6 nữ là:
C(6, 3) = 6! / (3! * (6-3)!)
C(6, 3) = 6! / (3! * 3!)
C(6, 3) = (6 5 4 3!) / ( (3 2 1) 3!)
C(6, 3) = (6 5 4) / (3 2 1)
C(6, 3) = 120 / 6
C(6, 3) = 20 cách.

Tương tự như việc chọn nam, thứ tự chọn các bạn nữ không ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng, vì vậy chúng ta sử dụng công thức tổ hợp.

Bước 5: Tính tổng số cách chọn 3 nam và 3 nữ

Theo quy tắc nhân trong xác suất và tổ hợp, để tìm tổng số cách thực hiện liên tiếp hai công việc độc lập, chúng ta nhân số cách của mỗi công việc lại với nhau.
Tổng số cách chọn 3 nam VÀ 3 nữ là:
Số cách chọn nam Số cách chọn nữ = 120 20 = 2400 cách.

Đây là số cách để chúng ta có được một nhóm gồm 3 nam và một nhóm gồm 3 nữ.

Bước 6: Ghép cặp 3 nam và 3 nữ

Sau khi đã chọn được 3 nam và 3 nữ, chúng ta cần ghép họ thành 3 cặp.
Giả sử chúng ta đã chọn được 3 nam là Nam A, Nam B, Nam C và 3 nữ là Nữ X, Nữ Y, Nữ Z.
Chúng ta có thể ghép như sau:
– Nam A có thể ghép với Nữ X, Nữ Y, hoặc Nữ Z (3 lựa chọn).
– Sau khi Nam A đã ghép cặp, ví dụ với Nữ X, thì Nam B còn lại 2 lựa chọn ghép với Nữ Y hoặc Nữ Z.
– Cuối cùng, Nam C chỉ còn 1 lựa chọn duy nhất để ghép với người nữ còn lại.

Số cách ghép 3 nam với 3 nữ đã chọn là:
3 2 1 = 3! = 6 cách.

Đây chính là hoán vị của 3 phần tử, vì thứ tự ghép cặp trong trường hợp này là quan trọng (ví dụ: (A, X), (B, Y), (C, Z) khác với (A, Y), (B, X), (C, Z)).

Bước 7: Tính tổng số cách chọn và ghép cặp

Cuối cùng, để có được đáp án cho toàn bộ bài toán, chúng ta nhân kết quả của bước 5 (số cách chọn nam và nữ) với kết quả của bước 6 (số cách ghép cặp).

Tổng số cách chọn 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp là:
Số cách chọn nam và nữ Số cách ghép cặp = 2400 6 = 14400 cách.

Kết luận

Vậy, có 14400 cách chọn 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp.

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách áp dụng công thức tổ hợp và quy tắc nhân để giải quyết các bài toán liên quan đến chọn lựa và sắp xếp. Hãy luôn ghi nhớ phân tích kỹ đề bài và xác định đúng phương pháp nhé!