Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28m. Đường chéo hình chữ nhật dài 10m….
Bước 1: Phân tích đề bài và đặt ẩn
Chúng ta có một mảnh đất hình chữ nhật.
Đề bài cho biết chu vi của hình chữ nhật là 28m.
Đề bài cũng cho biết độ dài đường chéo của hình chữ nhật là 10m.
Yêu cầu của bài toán là tính độ dài hai cạnh của hình chữ nhật.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ gọi hai cạnh của hình chữ nhật là a và b (với a, b > 0). Giả sử a là chiều dài và b là chiều rộng.
Bước 2: Thiết lập phương trình dựa trên thông tin đề bài
Chúng ta đã học công thức tính chu vi của hình chữ nhật là:
Chu vi = 2 * (chiều dài + chiều rộng)
Dựa vào đề bài, ta có:
28 = 2 * (a + b)
Tiếp theo, chúng ta hãy nhìn vào đường chéo của hình chữ nhật. Đường chéo, cạnh chiều dài và cạnh chiều rộng tạo thành một tam giác vuông. Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông này, ta có:
(chiều dài)^2 + (chiều rộng)^2 = (đường chéo)^2
Dựa vào đề bài, ta có:
a^2 + b^2 = 10^2
a^2 + b^2 = 100
Vậy là chúng ta đã có một hệ phương trình hai ẩn a và b:
1) 2(a + b) = 28
2) a^2 + b^2 = 100
Bước 3: Giải hệ phương trình
Chúng ta sẽ giải hệ phương trình này.
Từ phương trình (1), ta rút gọn:
a + b = 28 / 2
a + b = 14
Bây giờ, hệ phương trình của chúng ta trở nên đơn giản hơn:
1′) a + b = 14
2) a^2 + b^2 = 100
Từ phương trình (1′), ta có thể biểu diễn một ẩn theo ẩn kia. Ví dụ, ta biểu diễn a theo b:
a = 14 – b
Thế biểu thức của a vào phương trình (2):
(14 – b)^2 + b^2 = 100
Bây giờ, chúng ta khai triển và rút gọn phương trình này:
(14^2 – 2 14 b + b^2) + b^2 = 100
(196 – 28b + b^2) + b^2 = 100
2b^2 – 28b + 196 = 100
Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để đưa về dạng phương trình bậc hai:
2b^2 – 28b + 196 – 100 = 0
2b^2 – 28b + 96 = 0
Để phương trình đơn giản hơn, chúng ta chia cả hai vế cho 2:
b^2 – 14b + 48 = 0
Đây là một phương trình bậc hai ẩn b. Chúng ta có thể giải phương trình này bằng cách phân tích thành nhân tử hoặc sử dụng công thức nghiệm. Ở đây, chúng ta sẽ phân tích thành nhân tử.
Chúng ta cần tìm hai số có tích bằng 48 và tổng bằng -14. Hai số đó là -6 và -8.
Vậy, ta có thể viết lại phương trình như sau:
b^2 – 6b – 8b + 48 = 0
Nhóm các hạng tử lại:
(b^2 – 6b) – (8b – 48) = 0
b(b – 6) – 8(b – 6) = 0
Đặt nhân tử chung (b – 6):
(b – 6)(b – 8) = 0
Từ đây, ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1: b – 6 = 0 => b = 6
Trường hợp 2: b – 8 = 0 => b = 8
Bước 4: Tìm cạnh còn lại và kiểm tra điều kiện
Bây giờ, chúng ta sẽ tìm cạnh a tương ứng với mỗi giá trị của b, sử dụng phương trình a = 14 – b.
Nếu b = 6, thì a = 14 – 6 = 8.
Nếu b = 8, thì a = 14 – 8 = 6.
Cả hai trường hợp đều cho ta hai cạnh là 6m và 8m. Chúng ta cần kiểm tra xem hai giá trị này có thỏa mãn các điều kiện của bài toán không.
Độ dài hai cạnh phải là số dương, điều này đã được thỏa mãn (6 > 0 và 8 > 0).
Kiểm tra chu vi: 2 (6 + 8) = 2 14 = 28m (Đúng với đề bài).
Kiểm tra đường chéo: 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100. Căn bậc hai của 100 là 10m (Đúng với đề bài).
Bước 5: Kết luận
Vậy, độ dài hai cạnh của hình chữ nhật là 6m và 8m.
Các em thấy đó, bằng cách áp dụng các công thức đã học và giải hệ phương trình một cách cẩn thận, chúng ta đã tìm ra đáp án của bài toán. Hy vọng bài giảng này giúp các em nắm vững hơn kiến thức và tự tin giải các bài toán tương tự.
Đáp án:
\(6\) m và \(8\) m.
Giải thích cách làm:
Nửa chu vi là \(28:2=14\) (m)
Gọi \(x\) (m) là độ dài cạnh thứ nhất \((0<x<14)\)
\(\Rightarrow \) Độ dài cạnh thứ 2 là \(14-x\) (m)
Vì độ dài đường chéo hình chữ nhật là 10m, nên áp dụng định lý Pitago vào tam giác tạo bởi chiều dài, chiều rộng và đường chéo hình chữ nhật ta có:
\(x²+(14-x)² =100\)
\(\Leftrightarrow x² +x² -28x + 196 = 100\)
\(\Leftrightarrow x² -14x +48=0\)
\(\Leftrightarrow x=8\) hoặc \(x =6\) (t/m)
Vậy hình chữ nhật có độ dài 2 cạnh lần lượt là \(6m\) và \(8m\).
Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là \(a,b\) \((a>b>0)\)
Chu vi hình chữ nhật là 28m nên ta có:
\((a+b).2=28\)
\(\Leftrightarrow a+b=14\)
\( a=14-b\)
Đường chéo hình chữ nhật là 10m
Nên ta có:
\(a^2+b^2=10^2\)
\(\Leftrightarrow (14-b)^2+b^2=100\)
\(\Leftrightarrow196-28b+2b^2=100\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{I}b=8\\b=6\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{I}a=6\text{ (loại)}\\a=8(tm)\end{array}\right.\)
Vậy độ dài hai cạnh của hình chữ nhật là 8m và 6m.