Một ống nghiệm tiết diện đều có chiều dài 76cm, đặt thẳng đứng chứa một khối khí…

Để giải bài tập này, chúng ta cần xác định rõ các thông số trạng thái của khối khí (áp suất, thể tích, nhiệt độ) ở hai thời điểm khác nhau (trước và sau khi đun nóng), sau đó áp dụng phương trình trạng thái khí lí tưởng.

Bước 1: Tóm tắt và xác định trạng thái ban đầu của khối khí (Trạng thái 1).

• Chiều dài ống nghiệm: $L=76\text{cm}$.
• Khối khí chiếm nửa ống: Chiều dài cột khí ban đầu là $l_1=\frac{L}{2}=\frac{76}{2}=38\text{cm}$.
• Phía trên cột khí là cột thủy ngân: Chiều dài cột thủy ngân ban đầu là $h_{\mathrm{Hg}1}=\frac{L}{2}=\frac{76}{2}=38\text{cm}$.
• Nhiệt độ ban đầu của khối khí: $t_1=0℃$.
• Áp suất khí quyển: $P_{\mathrm{kq}}=76\text{cmHg}$.

Ta cần chuyển đổi nhiệt độ sang nhiệt độ tuyệt đối (Kelvin):

$$T_1=t_1+273=0+273=273\text{K}$$

Áp suất của khối khí ban đầu ($P_1$) được xác định bởi áp suất khí quyển cộng với áp suất do cột thủy ngân gây ra (do ống đặt thẳng đứng và thủy ngân nằm phía trên):

$$P_1=P_{\mathrm{kq}}+h_{\mathrm{Hg}1}=76\text{cmHg}+38\text{cmHg}=114\text{cmHg}$$

Thể tích của khối khí ban đầu ($V_1$): Vì ống có tiết diện đều, ta có thể biểu diễn thể tích thông qua chiều dài cột khí và tiết diện $S$ của ống:

$$V_1=l_1\cdot S=38S$$

Bước 2: Xác định trạng thái cuối cùng của khối khí (Trạng thái 2).

Khi đun nóng, một nửa cột thủy ngân trào ra ngoài. Điều này có nghĩa là lượng thủy ngân còn lại trong ống chỉ bằng một nửa so với ban đầu.

• Chiều dài cột thủy ngân còn lại: $h_{\mathrm{Hg}2}=\frac{h_{\mathrm{Hg}1}}{2}=\frac{38}{2}=19\text{cm}$.

Áp suất của khối khí lúc sau ($P_2$): Tương tự như trạng thái đầu, áp suất khí lúc sau sẽ bằng áp suất khí quyển cộng với áp suất do cột thủy ngân còn lại gây ra:

$$P_2=P_{\mathrm{kq}}+h_{\mathrm{Hg}2}=76\text{cmHg}+19\text{cmHg}=95\text{cmHg}$$

Thể tích của khối khí lúc sau ($V_2$): Chiều dài của ống nghiệm là 76 cm. Cột thủy ngân còn lại 19 cm ở phía trên, vậy chiều dài cột khí sẽ là tổng chiều dài ống trừ đi chiều dài cột thủy ngân:

$$l_2=L-h_{\mathrm{Hg}2}=76\text{cm}-19\text{cm}=57\text{cm}$$

Thể tích của khối khí lúc sau:

$$V_2=l_2\cdot S=57S$$

Nhiệt độ của khối khí lúc sau: $T_2$ (đây là đại lượng cần tìm).

Bước 3: Áp dụng phương trình trạng thái khí lí tưởng.

Vì khối lượng khí trong ống là không đổi, ta có thể áp dụng phương trình trạng thái khí lí tưởng (còn gọi là phương trình Clapeyron-Mendeleev cho hai trạng thái, hoặc phương trình khí lí tưởng tổng quát):

Giải thích phương pháp: Phương trình trạng thái khí lí tưởng liên hệ trực tiếp giữa áp suất, thể tích và nhiệt độ tuyệt đối của một lượng khí không đổi. Trong bài toán này, cả ba thông số đều thay đổi, nên việc sử dụng phương trình này là phù hợp nhất để tìm nhiệt độ cuối cùng.

$$\frac{P_1{V}_1}{T_1}=\frac{P_2{V}_2}{T_2}$$

Thay các giá trị đã tìm được vào phương trình:

$$\frac{114\cdot \left(38S\right)}{273}=\frac{95\cdot \left(57S\right)}{T_2}$$

Tiết diện $S$ ở hai vế sẽ triệt tiêu nhau:

$$\frac{114\cdot 38}{273}=\frac{95\cdot 57}{T_2}$$

Từ đó, ta tính $T_2$ theo công thức:

$$T_2=\frac{95\cdot 57\cdot 273}{114\cdot 38}$$

Để đơn giản hóa phép tính, chúng ta có thể nhận thấy các mối quan hệ:

• $114=2\cdot 57$
• $95=5\cdot 19$
• $38=2\cdot 19$

Thay vào biểu thức của $T_2$:

$$T_2=\frac{(5\cdot 19)\cdot 57\cdot 273}{(2\cdot 57)\cdot (2\cdot 19)}$$

Triệt tiêu các thừa số chung:

$$T_2=\frac{5\cdot 273}{2\cdot 2}=\frac{5\cdot 273}{4}=\frac{1365}{4}=341.25\text{K}$$

Bước 4: Chuyển đổi nhiệt độ về độ C.

Để trả lời câu hỏi, ta cần chuyển nhiệt độ tuyệt đối $T_2$ sang nhiệt độ Celsius ($t_2$):

$$t_2=T_2-273=341.25-273=68.25℃$$

Kết luận:

Vậy, để một nửa cột thủy ngân trào ra ngoài thì phải đun nóng khối khí lên đến nhiệt độ $68.25℃$.