Trước hết, chúng ta sẽ phân tích đề bài để xác định các đại lượng đã cho và đại lượng cần tìm.

Phân tích đề bài:

* Ống thủy tinh thẳng, tiết diện đều, hở hai đầu.
* Ống được cắm thẳng đứng vào bình thủy ngân.
* Ban đầu, một đầu ống cao hơn bề mặt thủy ngân 8 cm.
* Áp suất khí quyển: \( P_{atm} = 76 \) cmHg.
* Dùng ngón tay bịt kín đầu trên của ống.
* Nâng ống thẳng đứng đi lên thêm 46 cm.
* Nhiệt độ cột khí trong ống không đổi.
* Yêu cầu: Tìm chiều dài cột khí trong ống lúc sau.

Giải bài tập:

Chúng ta sẽ chia bài toán thành hai giai đoạn: Giai đoạn ban đầu (trước khi nâng ống) và giai đoạn sau (sau khi nâng ống).

Giai đoạn 1: Ban đầu

Khi ống được cắm vào bình thủy ngân, có một cột khí bị nhốt bên trong ống. Đầu trên của ống đang bịt kín bằng ngón tay.

* Gọi \( h_1 \) là chiều cao cột thủy ngân trong ống, tính từ bề mặt thủy ngân trong bình lên đến đầu trên của ống. Theo đề bài, đầu trên của ống cao hơn bề mặt thủy ngân 8 cm. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng đây là chiều cao mà đầu ống nhô lên khỏi mặt thoáng thủy ngân trong bình, chứ không phải là chiều dài cột khí ban đầu.
* Trong ống thủy tinh, có một cột không khí bị nhốt ở phía trên. Bên dưới cột không khí này là thủy ngân, và phía dưới nữa là thủy ngân trong bình.
* Áp suất của cột không khí này cân bằng với áp suất của khí quyển cộng với áp suất của cột thủy ngân chênh lệch bên trong ống (nếu có).

Chúng ta cần xác định áp suất của cột khí ban đầu (\( P_1 \)).

Xem xét tại mặt thoáng của thủy ngân trong bình. Áp suất tại mặt thoáng này là áp suất khí quyển \( P_{atm} \).

Khi ống được cắm vào, ta có một cột khí bị nhốt trong ống. Chiều cao cột khí này chưa được cho trực tiếp, nhưng chúng ta biết rằng đầu trên của ống cao hơn bề mặt thủy ngân 8 cm. Điều này có nghĩa là cột thủy ngân trong ống có thể dâng lên một đoạn nào đó hoặc tụt xuống so với mặt thoáng ban đầu.

Để xác định áp suất ban đầu của cột khí, chúng ta cần xét vị trí của mặt thoáng thủy ngân trong ống so với mặt thoáng thủy ngân trong bình.

Khi ống cắm vào, nếu ta không bịt đầu trên, thủy ngân sẽ dâng lên trong ống cho đến khi áp suất khí quyển cân bằng với áp suất thủy ngân bên trong. Tuy nhiên, ở đây chúng ta đang xét trường hợp ống được cắm vào và có một cột khí bị nhốt.

Ta hãy hình dung kỹ hơn. Ống cắm thẳng đứng vào bình thủy ngân, một đầu cao hơn bề mặt thủy ngân 8 cm. Điều này có nghĩa là phần ống nhô lên khỏi mặt thoáng là 8 cm.

Ban đầu, đầu trên của ống đã bịt kín bằng ngón tay. Vậy là có một cột không khí bên trong ống.

Để xác định áp suất ban đầu của cột khí (\( P_1 \)), chúng ta cần xem xét sự cân bằng áp suất tại một điểm nào đó.

Hãy xem xét điểm nằm trên cùng mặt phẳng với mặt thoáng thủy ngân trong bình, nhưng nằm bên trong ống. Áp suất tại điểm này là \( P_{atm} \).
Bên trong ống, ngay tại vị trí đó, áp suất là áp suất của cột khí (\( P_1 \)) cộng với áp suất của một cột thủy ngân nào đó.

Tuy nhiên, đề bài cho một thông tin quan trọng là “một đầu cao hơn bề mặt thủy ngân 8 cm”. Điều này cho phép chúng ta suy luận về áp suất ban đầu.

Khi ống được cắm vào và đầu trên bịt kín, thủy ngân sẽ dâng lên trong ống một đoạn nào đó, hoặc tụt xuống. Nhưng vì đầu trên của ống đã bịt kín, nên không có khí từ bên ngoài lọt vào hoặc khí bên trong thoát ra.

Chúng ta cần xác định chiều dài cột không khí ban đầu. Thông tin “một đầu cao hơn bề mặt thủy ngân 8 cm” có thể hiểu là: phần ống nhô lên khỏi mặt thoáng thủy ngân là 8 cm. Lúc này, thủy ngân có thể đã dâng lên trong ống một chút hoặc không.

Hãy giả sử chiều dài cột không khí ban đầu là \( L_1 \).

Khi ống cắm vào, ta có một cột khí bị nhốt. Áp suất của cột khí này phải cân bằng với áp suất bên ngoài tại cùng một độ cao.

Xét mặt thoáng của thủy ngân trong bình. Áp suất tại đây là \( P_{atm} \).
Bên trong ống, ngay tại mặt thoáng của thủy ngân trong bình, áp suất là áp suất của cột khí (\( P_1 \)) cộng với áp suất của cột thủy ngân chênh lệch bên trong ống.

Thông tin “một đầu cao hơn bề mặt thủy ngân 8 cm” cần được diễn giải cẩn thận. Nó có thể ám chỉ chiều dài phần ống nhô lên khỏi mặt thoáng, nhưng không trực tiếp cho biết chiều dài cột khí.

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần một cách tiếp cận rõ ràng hơn về áp suất ban đầu.

Hãy xem xét lại cách hiểu của câu “một đầu cao hơn bề mặt thủy ngân 8 cm”. Điều này có nghĩa là phần ống nhô lên khỏi mặt thoáng thủy ngân trong bình là 8 cm. Lúc này, bên trong ống, có một cột không khí. Áp suất của cột không khí này cân bằng với áp suất khí quyển trừ đi áp suất của một cột thủy ngân nào đó (nếu thủy ngân dâng lên trong ống).

Trong bài toán này, vì ống được cắm thẳng đứng vào bình thủy ngân, ta có thể hiểu rằng lúc đầu, khi chưa nâng ống, có một cột thủy ngân dâng lên trong ống.
Giả sử chiều dài cột không khí ban đầu là \( L_1 \).
Áp suất bên ngoài tại mặt thoáng thủy ngân trong bình là \( P_{atm} = 76 \) cmHg.

Nếu thủy ngân dâng lên một chiều cao \( h \) trong ống so với mặt thoáng, thì áp suất của cột khí bên trong sẽ là \( P_1 = P_{atm} – h \). Nhưng \( h \) chưa biết.

Có lẽ, cách diễn đạt “một đầu cao hơn bề mặt thủy ngân 8 cm” ám chỉ rằng khi ống cắm vào và đầu trên chưa bịt, thủy ngân sẽ dâng lên trong ống. Tuy nhiên, đề bài lại nói “dùng ngón tay bịt kín đầu trên của ống rồi năng ống thẳng đứng đi lên”. Điều này ngụ ý là ban đầu, khi ống được cắm vào, đã có một cột khí bị nhốt.

Hãy xem xét một trường hợp phổ biến trong các bài tập tương tự: Ban đầu, ống được cắm sao cho một phần ống ngập trong thủy ngân, phần còn lại nhô lên. Và có một cột không khí bị nhốt.

Giả sử rằng, ban đầu, cột không khí bị nhốt có chiều dài \( L_1 \).
Áp suất của cột không khí này tác dụng lên mặt thoáng của thủy ngân bên trong ống.
Mặt thoáng thủy ngân bên trong ống này có thể ở độ cao khác với mặt thoáng thủy ngân trong bình.

Ta cần tìm áp suất ban đầu của cột khí (\( P_1 \)).
Khi ống cắm vào bình thủy ngân và đầu trên bịt kín, có một cột khí bị nhốt.
Áp suất khí quyển là \( P_{atm} = 76 \) cmHg.

Nếu thủy ngân dâng lên trong ống một đoạn \( h \) so với mặt thoáng trong bình, thì áp suất của cột khí bên trong ống sẽ là \( P_1 = P_{atm} – h \).
Hoặc nếu thủy ngân bị tụt xuống trong ống so với mặt thoáng trong bình, thì áp suất của cột khí sẽ là \( P_1 = P_{atm} + h’ \), với \( h’ \) là độ tụt.

Đề bài nói “một đầu cao hơn bề mặt thủy ngân 8 cm”. Điều này thường được hiểu là: sau khi ống cắm vào và thủy ngân đã ổn định (chưa bịt đầu trên), thì khoảng cách từ mặt thoáng thủy ngân trong bình đến miệng ống là 8 cm. Tuy nhiên, đề bài lại nói “dùng ngón tay bịt kín đầu trên của ống rồi năng ống”. Điều này có nghĩa là quá trình bịt diễn ra trước khi nâng ống.

Vậy, giả sử ban đầu, khi ống cắm vào và đầu trên chưa bịt, thủy ngân đã dâng lên một chút trong ống. Nhưng khi ta bịt đầu trên, cột khí đã bị nhốt lại.

Chúng ta phải suy luận về trạng thái ban đầu của cột khí.
Nếu đầu trên ống cao hơn bề mặt thủy ngân 8 cm, và ta bịt đầu trên, thì cột khí bị nhốt sẽ có một áp suất nhất định.

Hãy xem xét kỹ thông tin “một đầu cao hơn bề mặt thủy ngân 8 cm”.
Điều này có thể được hiểu là: khi ống cắm vào bình, miệng ống ở vị trí cao hơn mặt thoáng thủy ngân 8 cm. Lúc này, trong ống có một cột không khí.
Nếu ta giả định ban đầu thủy ngân dâng lên trong ống một đoạn \( h \), thì áp suất của cột không khí (\( P_1 \)) sẽ cân bằng với áp suất khí quyển trừ đi áp suất cột thủy ngân \( h \).
\( P_1 = P_{atm} – h \).
Nhưng ta cần tìm \( P_1 \) và chiều dài \( L_1 \).

Nếu đề bài ám chỉ rằng ban đầu, khi ta bịt đầu trên, chiều dài cột không khí là 8 cm, và áp suất của nó là áp suất khí quyển, thì điều này sẽ đơn giản hơn. Tuy nhiên, thông tin “áp suất khí quyển là 76 cmHg” cho thấy chúng ta cần xem xét áp suất này.

Một cách diễn giải phổ biến cho các bài toán tương tự là: khi ống cắm vào bình thủy ngân, phần ống nhô lên khỏi mặt thoáng là một đoạn nhất định. Và bên trong ống có một cột không khí. Áp suất của cột không khí này cân bằng với áp suất khí quyển trừ đi (hoặc cộng thêm) áp suất của cột thủy ngân chênh lệch.

Giả sử trường hợp phổ biến nhất: Ban đầu, khi ống cắm vào bình và đầu trên bịt kín, thủy ngân trong ống dâng lên một đoạn \( h_1 \) so với mặt thoáng trong bình. Vậy, áp suất của cột khí ban đầu là \( P_1 = P_{atm} – h_1 \). Chiều dài cột khí ban đầu là \( L_1 \).
Nếu đề bài cho “một đầu cao hơn bề mặt thủy ngân 8 cm”, có thể hiểu là chiều cao của cột thủy ngân dâng lên trong ống lúc đầu là \( h_1 = 8 \) cm.
Trong trường hợp này, \( P_1 = 76 \text{ cmHg} – 8 \text{ cmHg} = 68 \text{ cmHg} \).
Và \( L_1 \) là chiều dài cột khí ban đầu.

Tuy nhiên, đề bài lại nói “chiều dài cột không khí trong ổng là bao nhiêu?”. Điều này ngụ ý là chiều dài cột khí ban đầu chưa được cho.

Hãy suy nghĩ lại. “Một đầu cao hơn bề mặt thủy ngân 8 cm”. Khi ống cắm vào, đầu trên của ống (miệng ống) đang ở vị trí cao hơn mặt thoáng thủy ngân trong bình 8 cm. Và chúng ta bịt đầu trên lại.
Lúc này, thủy ngân sẽ dâng lên trong ống một đoạn bao nhiêu?

Nếu ta giả định rằng, khi bịt đầu trên, cột không khí ban đầu có chiều dài \( L_1 \) và áp suất \( P_1 \).
Và giả định rằng, lúc ban đầu, thủy ngân dâng lên trong ống một đoạn \( h \). Vậy \( P_1 = P_{atm} – h \).
Và đầu trên ống cao hơn mặt thoáng thủy ngân trong bình là 8 cm.

Trong nhiều bài toán dạng này, khi đề bài cho “một đầu cao hơn bề mặt thủy ngân X cm”, điều này có nghĩa là chiều dài của cột không khí bị nhốt ban đầu là X cm. Và áp suất của cột không khí này là áp suất khí quyển, vì giả định là ban đầu không có sự chênh lệch áp suất nào khác. Tuy nhiên, điều này mâu thuẫn với việc áp suất khí quyển là 76 cmHg.

Cách hiểu hợp lý nhất trong trường hợp này là:
Khi ống cắm vào bình thủy ngân, miệng ống ở vị trí cao hơn mặt thoáng thủy ngân trong bình là 8 cm. Và khi ta bịt đầu trên lại, thì cột không khí bên trong ống có chiều dài ban đầu là \( L_1 \), và áp suất của nó là \( P_1 \).
Nếu ta xem xét tại mặt thoáng thủy ngân trong bình, áp suất là \( P_{atm} \).
Bên trong ống, tại cùng một độ cao, áp suất sẽ là áp suất của cột khí (\( P_1 \)) cộng với áp suất của cột thủy ngân chênh lệch.

Hãy thử một cách diễn giải khác:
Ban đầu, ống được cắm vào bình thủy ngân. Miệng ống cao hơn mặt thoáng thủy ngân trong bình là 8 cm.
Ta bịt đầu trên của ống lại. Lúc này, trong ống có một cột không khí.
Giả sử chiều dài cột không khí ban đầu là \( L_1 \).
Và áp suất của cột không khí ban đầu là \( P_1 \).

Nếu ta giả định rằng, ban đầu, thủy ngân dâng lên trong ống một đoạn đúng bằng 8 cm, thì áp suất của cột không khí sẽ là \( P_1 = P_{atm} – 8 \text{ cmHg} = 76 – 8 = 68 \text{ cmHg} \). Và \( L_1 \) là chiều dài cột không khí.

Tuy nhiên, thường thì chiều dài cột không khí sẽ được cho hoặc có thể tính được từ các dữ kiện khác.

Chúng ta hãy đọc lại kỹ: “Một ổng thủy tỉnh thẳng tiết diện đều hở cả hai đầu, được cắm thẳng đứng vào một bình thủy ngân sao cho một đầu cao hơn bề mặt thủy ngân 8 cm.”
Điều này có nghĩa là, khi cắm vào, phần ống nhô lên khỏi mặt thoáng là 8 cm.
“Dùng ngón tay bịt kín đầu trên của ống”.
“rồi năng ống thẳng đứng đi lên 46 cm”.

Nghĩa là, ban đầu, miệng ống cách mặt thoáng thủy ngân 8 cm. Sau đó, ta bịt đầu trên.
Nếu ta coi áp suất của cột khí ban đầu là \( P_1 \) và chiều dài của nó là \( L_1 \).
Và chúng ta có áp suất khí quyển \( P_{atm} = 76 \) cmHg.

Trường hợp phổ biến cho bài toán này là: ban đầu, khi ống cắm vào, thủy ngân dâng lên một đoạn trong ống. Và cái “8 cm” có thể là độ cao chênh lệch của thủy ngân trong ống so với ngoài bình.
Nếu ta giả sử rằng: ban đầu, cột thủy ngân dâng lên trong ống một đoạn \( h_1 = 8 \) cm.
Vậy, áp suất của cột khí ban đầu là \( P_1 = P_{atm} – h_1 = 76 – 8 = 68 \) cmHg.
Và chúng ta cần biết chiều dài \( L_1 \).

Nếu “một đầu cao hơn bề mặt thủy ngân 8 cm” ám chỉ đến chiều dài cột khí ban đầu, tức là \( L_1 = 8 \) cm. Thì áp suất của cột khí này là gì? Nếu nó là áp suất khí quyển, thì \( P_1 = 76 \) cmHg. Nhưng điều này không phù hợp với việc nó bị nhốt trong ống.

Hãy giả định cách hiểu sau đây, vì nó thường xuất hiện trong các sách bài tập Vật lý:
Khi ống cắm vào bình thủy ngân, miệng ống ở vị trí cao hơn mặt thoáng thủy ngân trong bình 8 cm.
Ta bịt đầu trên của ống. Lúc này, thủy ngân trong ống sẽ dâng lên một đoạn nhất định.
Để xác định áp suất ban đầu của cột khí, ta xét tại mặt thoáng của thủy ngân trong bình. Áp suất là \( P_{atm} \).
Bên trong ống, tại cùng độ cao này, áp suất là \( P_1 + h \) (nếu \( h \) là độ dâng của thủy ngân trong ống so với mặt thoáng ngoài bình).

Trong bài toán này, có thể hiểu rằng:
Ban đầu, khi ống cắm vào, một đầu cao hơn bề mặt thủy ngân 8 cm. Ta bịt đầu trên.
Giả sử chiều dài cột không khí ban đầu là \( L_1 \).
Và áp suất của cột không khí ban đầu là \( P_1 \).

Nếu ta coi “8 cm” là chiều cao của cột thủy ngân dâng lên trong ống so với mặt thoáng ngoài bình, thì:
Áp suất của cột khí ban đầu: \( P_1 = P_{atm} – 8 \text{ cmHg} = 76 – 8 = 68 \text{ cmHg} \).
Nhưng chiều dài ban đầu của cột không khí (\( L_1 \)) là bao nhiêu?

Khả năng cao là đề bài đã cho thiếu dữ kiện về chiều dài cột khí ban đầu hoặc cách tính áp suất ban đầu. Tuy nhiên, dựa trên cấu trúc của các bài toán Vật lý, có một cách diễn giải mà chúng ta có thể áp dụng.

Hãy giả định rằng:
Ban đầu, khi ống cắm vào, cột không khí bị nhốt có chiều dài \( L_1 \).
Và áp suất của cột không khí này bằng áp suất khí quyển, \( P_1 = P_{atm} = 76 \) cmHg.
(Điều này có thể xảy ra nếu ban đầu ống cắm vào, và miệng ống không bị ngập, tức là vẫn thông với khí quyển, rồi sau đó ta bịt đầu trên lại).

Nhưng nếu áp suất ban đầu là 76 cmHg, thì cái “8 cm” dùng để làm gì?

Chúng ta hãy xem lại câu “một đầu cao hơn bề mặt thủy ngân 8 cm”.
Điều này có thể hiểu là, khi ống cắm vào, miệng ống ở vị trí cao hơn mặt thoáng thủy ngân 8 cm.
Sau đó, ta bịt đầu trên lại.
Lúc này, bên trong ống, có một cột không khí.
Nếu ta giả sử rằng, ban đầu, thủy ngân dâng lên trong ống một đoạn \( h_1 \), thì áp suất của cột khí là \( P_1 = P_{atm} – h_1 \).
Và chiều dài cột khí là \( L_1 \).

Trong nhiều trường hợp bài tập tương tự, dữ kiện “một đầu cao hơn bề mặt thủy ngân X cm” ám chỉ đến chiều dài cột không khí ban đầu là X cm, và áp suất của cột không khí đó là áp suất khí quyển, tức là \( P_1 = 76 \) cmHg và \( L_1 = 8 \) cm. Nhưng đây là cách hiểu rất hiếm và có thể sai.

Một cách hiểu phổ biến hơn:
Ban đầu, ống cắm vào bình thủy ngân. Miệng ống ở vị trí cao hơn mặt thoáng thủy ngân trong bình là 8 cm.
Ta bịt đầu trên.
Lúc này, thủy ngân trong ống sẽ dâng lên một đoạn.
Hãy xét áp suất tại mặt thoáng thủy ngân trong bình: \( P_{atm} = 76 \) cmHg.
Bên trong ống, ngay tại mặt thoáng của thủy ngân trong bình, áp suất sẽ là \( P_1 + h \), trong đó \( P_1 \) là áp suất của cột khí và \( h \) là độ dâng của thủy ngân trong ống so với mặt thoáng ngoài bình.

Điều này có nghĩa là, ta cần biết \( P_1 \) và \( L_1 \) ban đầu.

Xem xét một trường hợp phổ biến khác:
Ban đầu, ống cắm vào bình thủy ngân sao cho miệng ống ở vị trí cao hơn mặt thoáng thủy ngân 8 cm.
Ta bịt đầu trên lại.
Và chiều dài cột không khí ban đầu là \( L_1 \).
Áp suất của cột không khí ban đầu là \( P_1 \).

Nếu ta coi “8 cm” là chiều cao của cột thủy ngân dâng lên trong ống so với mặt thoáng ngoài bình, tức là \( h_1 = 8 \) cm.
Thì áp suất cột khí ban đầu là \( P_1 = P_{atm} – h_1 = 76 – 8 = 68 \) cmHg.
Và chiều dài cột không khí ban đầu \( L_1 \) chưa biết.

Có lẽ, dữ kiện “một đầu cao hơn bề mặt thủy ngân 8 cm” ám chỉ đến chiều dài của cột không khí ban đầu là 8 cm. Và áp suất của nó là gì?
Nếu coi là áp suất khí quyển, \( P_1 = 76 \) cmHg, \( L_1 = 8 \) cm.

Nhưng sau khi nâng lên 46 cm, ta cần tính chiều dài cột khí mới (\( L_2 \)).
Khi nâng ống lên 46 cm, toàn bộ hệ thống (ống và thủy ngân bên trong) sẽ dịch chuyển lên.
Miệng ống ban đầu cao hơn mặt thoáng 8 cm.
Sau khi nâng lên 46 cm, miệng ống sẽ cao hơn vị trí ban đầu 46 cm.
Tổng cộng, miệng ống sẽ cao hơn mặt thoáng thủy ngân trong bình là \( 8 + 46 = 54 \) cm.

Nếu ban đầu \( L_1 = 8 \) cm và \( P_1 = 76 \) cmHg.
Sau khi nâng ống lên, chiều dài cột khí là \( L_2 \).
Vị trí miệng ống bây giờ cao hơn mặt thoáng thủy ngân trong bình là 54 cm.
Áp suất khí quyển vẫn là \( P_{atm} = 76 \) cmHg.

Khi nâng ống, ta cần xét lại sự cân bằng áp suất.
Áp suất tại mặt thoáng thủy ngân trong bình là \( P_{atm} \).
Bên trong ống, áp suất của cột khí (\( P_2 \)) cộng với áp suất của cột thủy ngân chênh lệch sẽ cân bằng với \( P_{atm} \).

Tuy nhiên, nếu coi \( L_1 = 8 \) cm và \( P_1 = 76 \) cmHg là đúng, thì ta áp dụng định luật Boyle-Mariotte vì nhiệt độ không đổi:
\( P_1 V_1 = P_2 V_2 \)
Vì tiết diện ống đều, ta có \( V = A \cdot L \), với \( A \) là tiết diện ống.
Nên \( P_1 L_1 = P_2 L_2 \).

Chúng ta cần xác định \( P_2 \).
Sau khi nâng ống lên 46 cm, miệng ống cao hơn mặt thoáng thủy ngân trong bình là 54 cm.
Áp suất khí quyển là \( P_{atm} = 76 \) cmHg.

Nếu coi ban đầu, \( L_1 = 8 \) cm và \( P_1 = 76 \) cmHg.
Sau khi nâng ống, miệng ống cao hơn mặt thoáng 54 cm.
Lúc này, áp suất của cột khí là \( P_2 \).
Thủy ngân trong ống sẽ dâng lên hay tụt xuống?

Nếu áp suất khí quyển là 76 cmHg, thì thủy ngân trong bình đang chịu áp suất này.
Khi miệng ống ở độ cao 54 cm so với mặt thoáng, và ta bịt đầu trên, áp suất của cột khí là \( P_2 \).

Trong trường hợp này, áp suất cột khí \( P_2 \) sẽ cân bằng với áp suất khí quyển trừ đi áp suất của cột thủy ngân chênh lệch.
Tuy nhiên, nếu ban đầu \( P_1 = 76 \) cmHg, thì điều này có nghĩa là cột không khí ban đầu không bị nén bởi thủy ngân.

Hãy xem xét cách diễn giải sau:
Ban đầu, ống cắm vào bình thủy ngân, miệng ống cách mặt thoáng thủy ngân 8 cm. Ta bịt đầu trên.
Giả sử chiều dài cột không khí ban đầu là \( L_1 \).
Và áp suất của cột không khí ban đầu là \( P_1 \).

Trong trường hợp này, ta có thể hiểu là: áp suất ban đầu của cột không khí là áp suất khí quyển trừ đi áp suất của một cột thủy ngân có chiều cao 8 cm. Điều này có nghĩa là thủy ngân dâng lên trong ống 8 cm so với mặt thoáng ngoài bình.
Vậy, \( P_1 = P_{atm} – 8 \text{ cmHg} = 76 – 8 = 68 \text{ cmHg} \).
Còn chiều dài cột không khí ban đầu \( L_1 \) là bao nhiêu?

Nếu đọc kỹ lại, “một đầu cao hơn bề mặt thủy ngân 8 cm”. Có thể hiểu là chiều dài cột không khí ban đầu là 8 cm. Và áp suất của nó là áp suất khí quyển \( P_1 = 76 \) cmHg.

Thử lại với giả định: \( L_1 = 8 \) cm, \( P_1 = 76 \) cmHg.

Giai đoạn 2: Sau khi nâng ống

Ống được nâng thẳng đứng đi lên thêm 46 cm.
Vị trí mới của miệng ống so với mặt thoáng thủy ngân trong bình là \( 8 + 46 = 54 \) cm.
Áp suất khí quyển \( P_{atm} = 76 \) cmHg.
Nhiệt độ không đổi, áp dụng định luật Boyle-Mariotte: \( P_1 L_1 = P_2 L_2 \).

Chúng ta cần xác định áp suất \( P_2 \) của cột không khí lúc sau.
Khi nâng ống lên, áp suất khí quyển \( P_{atm} \) vẫn tác dụng lên mặt thoáng của thủy ngân trong bình.
Bên trong ống, cột không khí có áp suất \( P_2 \) và chiều dài \( L_2 \).
Áp suất của cột khí \( P_2 \) sẽ cân bằng với áp suất khí quyển trừ đi áp suất của cột thủy ngân chênh lệch.

Vấn đề là, cái “8 cm” ở đây có ý nghĩa gì?
Nếu ban đầu, \( P_1 = 76 \) cmHg và \( L_1 = 8 \) cm.
Sau khi nâng ống lên, miệng ống ở vị trí cao hơn mặt thoáng 54 cm.
Lúc này, thủy ngân trong ống sẽ dâng lên một đoạn hay tụt xuống?

Nếu áp suất khí quyển là 76 cmHg, và cột khí bên trong có áp suất \( P_2 \).
Nếu miệng ống ở cao hơn mặt thoáng, và ta bịt đầu trên, thì thủy ngân sẽ có xu hướng dâng lên trong ống để cân bằng áp suất.

Xét áp suất tại mặt thoáng thủy ngân trong bình: \( P_{atm} = 76 \) cmHg.
Bên trong ống, giả sử thủy ngân dâng lên một đoạn \( h \) so với mặt thoáng ngoài bình.
Thì áp suất của cột khí lúc sau là \( P_2 = P_{atm} – h \).
Và chiều dài cột khí lúc sau là \( L_2 \).

Cái “8 cm” ở đây có thể là chiều cao của cột thủy ngân dâng lên trong ống ban đầu, tức là \( h_1 = 8 \) cm.
Nếu vậy, \( P_1 = P_{atm} – h_1 = 76 – 8 = 68 \) cmHg.
Và \( L_1 \) là chiều dài cột khí ban đầu.

Nếu đề bài ám chỉ rằng, khi ống cắm vào, miệng ống cao hơn mặt thoáng thủy ngân 8 cm, và ta bịt đầu trên, thì chiều dài cột không khí ban đầu là 8 cm. Và áp suất của nó là áp suất khí quyển \( P_1 = 76 \) cmHg.

Hãy thử với cách hiểu này, vì nó là cách giải phổ biến cho dạng bài này.
Giả định ban đầu:
* Chiều dài cột không khí ban đầu: \( L_1 = 8 \) cm.
* Áp suất cột không khí ban đầu: \( P_1 = P_{atm} = 76 \) cmHg. (Đây là cách hiểu đơn giản hóa, coi như cột khí ban đầu không bị nén bởi thủy ngân).

Sau khi nâng ống thẳng đứng đi lên 46 cm.
Vị trí mới của miệng ống so với mặt thoáng thủy ngân trong bình là \( 8 + 46 = 54 \) cm.
Áp suất khí quyển: \( P_{atm} = 76 \) cmHg.
Nhiệt độ không đổi, áp dụng định luật Boyle-Mariotte:
\( P_1 L_1 = P_2 L_2 \)

Chúng ta cần xác định áp suất \( P_2 \) lúc sau.
Khi ống được nâng lên, miệng ống ở vị trí cao hơn mặt thoáng thủy ngân 54 cm.
Áp suất khí quyển là 76 cmHg.
Áp suất của cột khí lúc sau, \( P_2 \), sẽ cân bằng với áp suất khí quyển trừ đi (hoặc cộng thêm) áp suất của cột thủy ngân chênh lệch bên trong ống.

Nếu ta coi áp suất khí quyển là 76 cmHg, và cột khí bên trong có áp suất \( P_2 \).
Nếu miệng ống ở cao hơn mặt thoáng 54 cm, và ta bịt đầu trên, thì thủy ngân trong ống sẽ dâng lên.
Áp suất của cột khí \( P_2 \) sẽ cân bằng với áp suất khí quyển trừ đi áp suất cột thủy ngân chênh lệch.

Xét tại mặt thoáng thủy ngân trong bình: Áp suất là \( P_{atm} \).
Bên trong ống, giả sử thủy ngân dâng lên một chiều cao \( h \) so với mặt thoáng ngoài bình.
Thì áp suất của cột khí là \( P_2 = P_{atm} – h \).

Trong đề bài này, có một cách diễn giải khác:
“một đầu cao hơn bề mặt thủy ngân 8 cm” –> ban đầu chiều dài cột không khí là \( L_1 = 8 \) cm.
“áp suất khí quyển là 76 cmHg” –> \( P_{atm} = 76 \) cmHg.
Khi bịt đầu trên và nâng ống, cái “8 cm” này có thể ám chỉ đến áp suất ban đầu của cột khí.

Hãy thử cách diễn giải sau đây, nó phổ biến và có lý:
Ban đầu, ống cắm vào bình thủy ngân. Miệng ống cao hơn mặt thoáng thủy ngân trong bình là 8 cm.
Ta bịt đầu trên. Lúc này, thủy ngân trong ống dâng lên một đoạn \( h_1 \).
Áp suất của cột khí ban đầu là \( P_1 = P_{atm} – h_1 \).
Chiều dài cột khí ban đầu là \( L_1 \).

Nếu đề bài cho “một đầu cao hơn bề mặt thủy ngân 8 cm” ám chỉ rằng chiều cao của cột thủy ngân dâng lên trong ống ban đầu là 8 cm, tức là \( h_1 = 8 \) cm.
Khi đó, áp suất cột khí ban đầu là \( P_1 = 76 – 8 = 68 \) cmHg.
Và chiều dài cột khí ban đầu \( L_1 \) là bao nhiêu?

Nếu đề bài ám chỉ rằng, ban đầu, chiều dài cột không khí là 8 cm, và áp suất của nó là áp suất khí quyển, tức là \( L_1 = 8 \) cm, \( P_1 = 76 \) cmHg.
Sau khi nâng ống lên 46 cm, miệng ống ở vị trí cao hơn mặt thoáng là \( 8 + 46 = 54 \) cm.
Áp suất khí quyển \( P_{atm} = 76 \) cmHg.
Áp dụng \( P_1 L_1 = P_2 L_2 \).

Để xác định \( P_2 \), chúng ta cần xét vị trí mới của ống.
Miệng ống cao hơn mặt thoáng 54 cm.
Nếu thủy ngân trong ống dâng lên một đoạn \( h \) so với mặt thoáng ngoài bình, thì \( P_2 = P_{atm} – h \).
Và \( L_2 \) là chiều dài cột khí.

Cần tìm một cách liên hệ \( L_2 \) với vị trí của miệng ống.
Miệng ống cao hơn mặt thoáng 54 cm.
Nếu chiều dài cột khí là \( L_2 \), thì phần thủy ngân chìm trong ống (nếu có) hoặc phần chênh lệch so với ngoài bình là bao nhiêu?

Một cách tiếp cận chuẩn mực cho bài toán này:
Trạng thái ban đầu:
Ống cắm vào bình thủy ngân, miệng ống cao hơn mặt thoáng thủy ngân trong bình 8 cm.
Ta bịt đầu trên của ống.
Giả sử chiều dài cột không khí ban đầu là \( L_1 \).
Áp suất của cột không khí ban đầu là \( P_1 \).
Khi bịt đầu trên, thủy ngân trong ống sẽ dâng lên một đoạn \( h \).
Áp suất tại mặt thoáng thủy ngân trong bình là \( P_{atm} \).
Áp suất bên trong ống tại cùng độ cao này là \( P_1 + h \).
Do đó, \( P_{atm} = P_1 + h \).
Và ta có \( P_1 \cdot L_1 = \text{hằng số} \) (vì nhiệt độ không đổi).

Nếu “một đầu cao hơn bề mặt thủy ngân 8 cm” ám chỉ rằng chiều dài cột không khí ban đầu là \( L_1 = 8 \) cm, và áp suất của nó là áp suất khí quyển \( P_1 = 76 \) cmHg.

Trạng thái ban đầu:
* \( L_1 = 8 \) cm
* \( P_1 = 76 \) cmHg

Ống được nâng thẳng đứng đi lên thêm 46 cm.
Vị trí mới của miệng ống so với mặt thoáng thủy ngân trong bình là \( 8 + 46 = 54 \) cm.
Áp suất khí quyển \( P_{atm} = 76 \) cmHg.
Nhiệt độ không đổi, áp dụng định luật Boyle-Mariotte: \( P_1 L_1 = P_2 L_2 \).

Ta cần xác định \( P_2 \).
Khi ống nâng lên, miệng ống cách mặt thoáng 54 cm.
Áp suất của cột khí lúc sau là \( P_2 \).
Thủy ngân trong ống sẽ dâng lên hay tụt xuống?

Nếu áp suất khí quyển là 76 cmHg, và miệng ống ở cao hơn mặt thoáng, thì cột khí bên trong sẽ có áp suất \( P_2 \).
Nếu \( P_2 < P_{atm} \), thủy ngân sẽ dâng lên trong ống. Nếu \( P_2 > P_{atm} \), thủy ngân sẽ tụt xuống trong ống (so với mặt thoáng).

Cần xác định \( P_2 \) dựa trên vị trí mới.
Khi miệng ống cách mặt thoáng 54 cm, và ta bịt đầu trên, thì áp suất \( P_2 \) của cột khí sẽ cân bằng với áp suất khí quyển trừ đi áp suất của cột thủy ngân chênh lệch bên trong ống.

Hãy xét tại mặt thoáng thủy ngân trong bình: Áp suất là \( P_{atm} \).
Bên trong ống, giả sử thủy ngân dâng lên một chiều cao \( h_2 \) so với mặt thoáng ngoài bình.
Thì áp suất của cột khí là \( P_2 = P_{atm} – h_2 \).
Và chiều dài cột khí là \( L_2 \).

Mối liên hệ giữa \( L_2 \) và \( h_2 \)?
Miệng ống ở vị trí cao hơn mặt thoáng 54 cm.
Chiều dài cột khí là \( L_2 \).
Vậy, phần thủy ngân chìm trong ống sẽ có chiều cao là \( 54 – L_2 \).
Do đó, \( h_2 = 54 – L_2 \).

Vậy, \( P_2 = P_{atm} – (54 – L_2) \).
\( P_2 = 76 – (54 – L_2) = 76 – 54 + L_2 = 22 + L_2 \).

Bây giờ, ta có hệ phương trình:
1. \( P_1 L_1 = P_2 L_2 \)
2. \( P_2 = 22 + L_2 \)

Thay các giá trị ban đầu: \( L_1 = 8 \) cm, \( P_1 = 76 \) cmHg.
\( 76 \times 8 = P_2 L_2 \)
\( 608 = P_2 L_2 \)

Thay phương trình (2) vào phương trình trên:
\( 608 = (22 + L_2) L_2 \)
\( 608 = 22 L_2 + L_2^2 \)
\( L_2^2 + 22 L_2 – 608 = 0 \)

Đây là một phương trình bậc hai cho \( L_2 \). Ta giải phương trình này.
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \): \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \).
Ở đây, \( a=1, b=22, c=-608 \).

\( L_2 = \frac{-22 \pm \sqrt{22^2 – 4 \times 1 \times (-608)}}{2 \times 1} \)
\( L_2 = \frac{-22 \pm \sqrt{484 + 2432}}{2} \)
\( L_2 = \frac{-22 \pm \sqrt{2916}}{2} \)

Tính căn bậc hai của 2916:
\( \sqrt{2916} = 54 \)

Vậy,
\( L_2 = \frac{-22 \pm 54}{2} \)

Có hai nghiệm:
\( L_{2a} = \frac{-22 + 54}{2} = \frac{32}{2} = 16 \) cm.
\( L_{2b} = \frac{-22 – 54}{2} = \frac{-76}{2} = -38 \) cm.

Vì chiều dài không thể âm, ta loại nghiệm \( L_{2b} \).
Vậy, chiều dài cột không khí trong ống lúc sau là \( L_2 = 16 \) cm.

Kiểm tra lại:
Nếu \( L_2 = 16 \) cm, thì \( P_2 = 22 + L_2 = 22 + 16 = 38 \) cmHg.
Kiểm tra định luật Boyle-Mariotte: \( P_1 L_1 = 76 \times 8 = 608 \).
\( P_2 L_2 = 38 \times 16 = 608 \).
Hai vế bằng nhau, vậy kết quả là hợp lý.

Kết luận:

Vậy, chiều dài cột không khí trong ống lúc sau là 16 cm.

Trình bày lời giải chi tiết:

Bước 1: Xác định trạng thái ban đầu.
* Theo đề bài, ta giả định rằng chiều dài cột không khí ban đầu là \( L_1 = 8 \) cm và áp suất của nó là áp suất khí quyển \( P_1 = 76 \) cmHg.
* Áp suất khí quyển: \( P_{atm} = 76 \) cmHg.

Bước 2: Xác định trạng thái sau khi nâng ống.
* Ống được nâng thẳng đứng đi lên thêm 46 cm.
* Do đó, vị trí mới của miệng ống so với mặt thoáng thủy ngân trong bình là \( L_{mouth} = 8 + 46 = 54 \) cm.
* Gọi \( L_2 \) là chiều dài cột không khí lúc sau.
* Gọi \( P_2 \) là áp suất của cột không khí lúc sau.
* Vì nhiệt độ không đổi, ta áp dụng định luật Boyle-Mariotte: \( P_1 L_1 = P_2 L_2 \).

Bước 3: Tìm biểu thức liên hệ giữa áp suất \( P_2 \) và chiều dài \( L_2 \).
* Xét tại mặt thoáng của thủy ngân trong bình, áp suất là \( P_{atm} \).
* Bên trong ống, cột không khí có chiều dài \( L_2 \) và áp suất \( P_2 \).
* Miệng ống cách mặt thoáng 54 cm.
* Thủy ngân trong ống sẽ dâng lên một đoạn \( h_2 \) sao cho áp suất cột khí cân bằng với áp suất khí quyển trừ đi áp suất cột thủy ngân chênh lệch.
* Chiều dài phần thủy ngân trong ống (tính từ mặt thoáng ngoài bình lên đến đầu trên của cột khí) là \( 54 – L_2 \). Do đó, \( h_2 = 54 – L_2 \).
* Áp suất của cột khí lúc sau là \( P_2 = P_{atm} – h_2 \).
* Thay \( P_{atm} = 76 \) cmHg và \( h_2 = 54 – L_2 \), ta có:
\( P_2 = 76 – (54 – L_2) \)
\( P_2 = 76 – 54 + L_2 \)
\( P_2 = 22 + L_2 \) (cmHg)

Bước 4: Áp dụng định luật Boyle-Mariotte và giải phương trình.
* Ta có \( P_1 L_1 = P_2 L_2 \).
* Thay \( P_1 = 76 \) cmHg, \( L_1 = 8 \) cm, và \( P_2 = 22 + L_2 \):
\( 76 \times 8 = (22 + L_2) L_2 \)
\( 608 = 22 L_2 + L_2^2 \)
* Sắp xếp lại thành phương trình bậc hai:
\( L_2^2 + 22 L_2 – 608 = 0 \)
* Giải phương trình bậc hai này:
\( L_2 = \frac{-22 \pm \sqrt{22^2 – 4(1)(-608)}}{2(1)} \)
\( L_2 = \frac{-22 \pm \sqrt{484 + 2432}}{2} \)
\( L_2 = \frac{-22 \pm \sqrt{2916}}{2} \)
\( L_2 = \frac{-22 \pm 54}{2} \)
* Ta có hai nghiệm: \( L_2 = \frac{-22 + 54}{2} = 16 \) cm hoặc \( L_2 = \frac{-22 – 54}{2} = -38 \) cm.
* Vì chiều dài không thể âm, ta chọn nghiệm \( L_2 = 16 \) cm.

Trả lời:

Chiều dài cột không khí trong ống lúc sau là 16 cm.