Bài toán:

Một sóng cơ truyền dọc theo trục Ox. Phương trình dao động của phần tử tại một điểm trên phương truyền sóng là u = 4cos(20πt – π) (u tính bằng mm, t tính bằng s). Biết tốc độ truyền sóng bằng 60 cm/s. tại điểm m có tọa độ bằng 5mm, vào thời điểm t=1,25s thì li độ điểm m bằng bao nhiêu

Phân tích bài toán và các bước giải:

Đây là một bài toán liên quan đến phương trình sóng và li độ của một điểm bất kỳ trên phương truyền sóng tại một thời điểm xác định. Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định các đại lượng đã cho và đại lượng cần tìm.

Từ đề bài, chúng ta có:
– Phương trình dao động tổng quát của một điểm trên phương truyền sóng: u = 4cos(20πt – π) (mm, s)
– Tốc độ truyền sóng: v = 60 cm/s
– Tọa độ của điểm m: x_m = 5 mm. Tuy nhiên, trong phương trình dao động tổng quát, tọa độ của điểm thường được biểu diễn dưới dạng x hoặc một biến tương tự, và nó ảnh hưởng đến pha dao động của điểm đó. Trong trường hợp này, đề bài cho tọa độ điểm m là 5mm, nhưng phương trình dao động lại không có biến x. Điều này có nghĩa là phương trình cho trong đề là phương trình dao động của một điểm gốc (ví dụ: điểm có x=0) hoặc một điểm nào đó mà pha dao động được cho trước. Chúng ta sẽ giả định phương trình u = 4cos(20πt – π) là phương trình dao động của một điểm nào đó trên trục Ox.
– Thời điểm cần xét: t = 1,25 s.
– Đại lượng cần tìm: Li độ của điểm m tại thời điểm t = 1,25 s.

Lưu ý quan trọng: Trong bài toán này, phương trình dao động được cho dưới dạng u = Acos(ωt + φ). Nếu sóng truyền từ một điểm gốc nào đó đến điểm m, thì phương trình dao động của điểm m sẽ có dạng u_m = Acos(ωt + φ – kx_m) hoặc u_m = Acos(ωt + φ + kx_m), tùy thuộc vào chiều truyền sóng. Tuy nhiên, đề bài cho phương trình dao động của “một điểm” và yêu cầu tìm li độ tại “điểm m” với tọa độ là 5mm, nhưng phương trình dao động không chứa biến tọa độ x. Điều này dẫn đến hai cách hiểu:
1. Phương trình u = 4cos(20πt – π) là phương trình dao động của chính điểm m. Trong trường hợp này, tọa độ 5mm của điểm m là thông tin thừa hoặc không liên quan đến việc tính li độ tại thời điểm t.
2. Phương trình u = 4cos(20πt – π) là phương trình dao động của một điểm gốc nào đó (ví dụ: x=0) và sóng truyền đến điểm m. Nhưng đề bài không cho biết điểm gốc này có tọa độ bao nhiêu và sóng truyền theo chiều nào.

Dựa trên cách ra đề thông thường và để bài toán có thể giải được với thông tin đã cho, chúng ta sẽ giả định rằng phương trình u = 4cos(20πt – π) là phương trình dao động của điểm m, và tọa độ 5mm của điểm m là một thông tin không cần thiết để tính li độ tại thời điểm t. Nếu đề bài muốn nói đến sự lệch pha do khoảng cách, thì phương trình dao động của điểm m sẽ phải có dạng chứa biến tọa độ x_m hoặc có thông tin rõ ràng về điểm gốc và chiều truyền sóng.

Vì vậy, chúng ta sẽ sử dụng trực tiếp phương trình dao động đã cho để tính li độ tại thời điểm t = 1,25 s.

Bước 2: Xác định các đại lượng trong phương trình dao động.

Từ phương trình dao động: u = 4cos(20πt – π)
Ta có:
– Biên độ dao động: A = 4 mm
– Tần số góc: ω = 20π rad/s
– Pha ban đầu: φ = -π rad

Bước 3: Thay thời điểm t vào phương trình dao động để tính li độ.

Chúng ta cần tính li độ u của điểm m tại thời điểm t = 1,25 s.
Thay t = 1,25 s vào phương trình dao động:
u = 4cos(20π * 1,25 – π)

Bước 4: Thực hiện phép tính toán học.

Tính giá trị trong hàm cos:
20π 1,25 = 20 1,25 * π = 25π

Vậy, phương trình trở thành:
u = 4cos(25π – π)
u = 4cos(24π)

Ta biết rằng hàm cosin có chu kỳ là 2π, nghĩa là cos(x + 2nπ) = cos(x) với n là số nguyên.
Ở đây, 24π là một bội số chẵn của 2π (24π = 12 * 2π).
Do đó, cos(24π) = cos(0) = 1.

Thay giá trị này vào biểu thức tính li độ:
u = 4 * 1
u = 4 mm

Kết luận:

Tại điểm m có tọa độ bằng 5mm, vào thời điểm t = 1,25s thì li độ của điểm m bằng 4 mm.

Nhận xét thêm về đề bài (dành cho học sinh khá giỏi):

Nếu đề bài muốn kiểm tra kiến thức về sự phụ thuộc của li độ vào vị trí, thì đề bài cần cung cấp thêm thông tin, ví dụ:
– Phương trình dao động của một điểm gốc (ví dụ: O có tọa độ x=0) là u_0 = 4cos(20πt – π).
– Sóng truyền dọc theo trục Ox theo chiều dương (hoặc chiều âm).
– Điểm m có tọa độ x_m = 5 mm.

Khi đó, phương trình dao động của điểm m sẽ có dạng:
u_m = u_0(t – x_m/v) = 4cos(20π(t – x_m/v) – π) nếu sóng truyền theo chiều dương Ox.
hoặc
u_m = u_0(t + x_m/v) = 4cos(20π(t + x_m/v) – π) nếu sóng truyền theo chiều âm Ox.

Trong trường hợp này, chúng ta cần tính bước sóng λ = v/f = vT.
Ta có ω = 2πf, suy ra f = ω/(2π) = 20π/(2π) = 10 Hz.
Chu kỳ T = 1/f = 1/10 = 0,1 s.
Bước sóng λ = vT = 60 cm/s * 0,1 s = 6 cm = 0,06 m.
Hoặc λ = 2πv/ω = 2π * 60 cm/s / (20π rad/s) = 6 cm = 0,06 m.

Nếu xét theo trường hợp này, chúng ta sẽ thay các giá trị v, x_m vào và tính toán. Tuy nhiên, với đề bài đã cho, chúng ta giải như các bước trên là phù hợp nhất.

Chúc các em học tốt!