Chào các em, thầy là giáo viên dạy Toán lớp 9.

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau ôn tập một kỹ năng rất quan trọng trong chương trình Toán 9, đó là cách tách (hay phân tích thành nhân tử) một tam thức bậc hai. Đây là dạng bài thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra và kỳ thi quan trọng.

Một tam thức bậc hai có dạng tổng quát là \(P(x) = ax^2 + bx + c\), với \(a, b, c\) là các hệ số và \(a \neq 0\). Để tách tam thức này, chúng ta có một số phương pháp hiệu quả. Các em hãy chú ý theo dõi từng bước nhé.

Phương pháp 1: Sử dụng nghiệm của phương trình bậc hai

Đây là phương pháp tổng quát và hiệu quả nhất, đặc biệt khi các em đã học về công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Phương pháp này dựa trên một định lý quan trọng:

Lý do áp dụng: Phương pháp này có công thức rõ ràng, áp dụng được cho mọi trường hợp tam thức bậc hai có thể phân tích được thành nhân tử, kể cả khi nghiệm là số vô tỉ hoặc phân số phức tạp.

Các bước thực hiện:

• Bước 1: Xét phương trình bậc hai tương ứng \(ax^2 + bx + c = 0\).
• Bước 2: Tính biệt thức Delta: \(\Delta = b^2 – 4ac\).
• Bước 3: Dựa vào giá trị của \(\Delta\) để kết luận:
  • Nếu \(\Delta < 0\): Phương trình vô nghiệm. Khi đó, tam thức không thể phân tích thành nhân tử trên tập hợp số thực.
  • Nếu \(\Delta = 0\): Phương trình có nghiệm kép \(x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a}\). Khi đó, tam thức được phân tích thành:
    \[P(x) = a(x – x_1)^2\]
  • Nếu \(\Delta > 0\): Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
    \(x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}\) và \(x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\).
    Khi đó, tam thức được phân tích thành:
    \[P(x) = a(x – x_1)(x – x_2)\]

Ví dụ minh họa: Tách tam thức \(2x^2 – 7x + 3\).

1. Bước 1: Xét phương trình \(2x^2 – 7x + 3 = 0\). Ta có các hệ số \(a = 2, b = -7, c = 3\).
2. Bước 2: Tính \(\Delta\).
   \(\Delta = (-7)^2 – 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 – 24 = 25\).
3. Bước 3: Vì \(\Delta = 25 > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt.
   \(\sqrt{\Delta} = \sqrt{25} = 5\).
   Nghiệm thứ nhất: \(x_1 = \frac{-(-7) – 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).
   Nghiệm thứ hai: \(x_2 = \frac{-(-7) + 5}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3\).
4. Bước 4: Áp dụng công thức \(P(x) = a(x – x_1)(x – x_2)\), ta có:
   \(2x^2 – 7x + 3 = 2(x – \frac{1}{2})(x – 3)\).
   Để kết quả đẹp hơn, ta có thể nhân 2 vào thừa số \((x – \frac{1}{2})\):
   \(2x^2 – 7x + 3 = (2x – 1)(x – 3)\).

Phương pháp 2: Tách hạng tử ở giữa (hạng tử bx)

Lý do áp dụng: Phương pháp này tỏ ra rất nhanh và hiệu quả khi các hệ số a, b, c là các số nguyên nhỏ, giúp rèn luyện tư duy nhẩm tính.

Các bước thực hiện:

• Bước 1: Tính tích \(ac\).
• Bước 2: Tìm hai số \(b_1\) và \(b_2\) sao cho thỏa mãn hai điều kiện:
  \(\begin{cases} b_1 + b_2 = b \\ b_1 \cdot b_2 = ac \end{cases}\)
• Bước 3: Viết lại tam thức dưới dạng \(ax^2 + b_1x + b_2x + c\).
• Bước 4: Dùng phương pháp nhóm các hạng tử để xuất hiện nhân tử chung.

Ví dụ minh họa: Tách tam thức \(2x^2 – 7x + 3\). (Cùng ví dụ trên để các em so sánh)

1. Bước 1: Tính tích \(ac = 2 \cdot 3 = 6\).
2. Bước 2: Tìm hai số \(b_1, b_2\) có tổng bằng \(b = -7\) và tích bằng \(ac = 6\).
   Ta nhẩm thấy hai số đó là \(-1\) và \(-6\). Vì \((-1) + (-6) = -7\) và \((-1) \cdot (-6) = 6\).
3. Bước 3: Tách hạng tử \(-7x\) thành \(-x – 6x\).
   \(2x^2 – 7x + 3 = 2x^2 – x – 6x + 3\).
4. Bước 4: Nhóm các hạng tử:
   \(= (2x^2 – x) + (-6x + 3)\)
   \(= x(2x – 1) – 3(2x – 1)\)
   \(= (2x – 1)(x – 3)\)

Như các em thấy, cả hai phương pháp đều cho ra cùng một kết quả.

Phương pháp 3: Sử dụng máy tính cầm tay (Casio, Vinacal,…)

Lý do áp dụng: Đây là cách nhanh nhất để tìm nghiệm, giúp tiết kiệm thời gian trong phòng thi, đặc biệt là các câu hỏi trắc nghiệm hoặc để kiểm tra lại kết quả của hai phương pháp trên.

Các bước thực hiện:

1. Mở chức năng giải phương trình bậc hai trên máy tính (thường là MODE -> 5 -> 3 trên máy VN-570ES PLUS hoặc các phím tương tự).
2. Nhập các hệ số \(a, b, c\). Với ví dụ trên, ta nhập \(a=2, b=-7, c=3\).
3. Máy tính sẽ cho ra các nghiệm \(x_1 = 3\) và \(x_2 = \frac{1}{2}\).
4. Từ các nghiệm này, ta viết lại nhân tử theo công thức ở phương pháp 1:
   \(P(x) = a(x – x_1)(x – x_2) = 2(x – 3)(x – \frac{1}{2}) = (x – 3)(2x – 1)\).

Lưu ý: Các em cần hiểu bản chất của phương pháp 1 và 2, không nên lạm dụng máy tính vì trong nhiều bài toán phức tạp hơn (chứa tham số m), các em sẽ phải tự giải bằng tay.

Hi vọng qua bài giảng này, các em đã nắm vững các cách để phân tích một tam thức bậc hai thành nhân tử. Hãy luyện tập thật nhiều với các ví dụ khác nhau để thành thạo kỹ năng này nhé.

Chúc các em học tốt