Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy/cô sẽ cùng các em chinh phục một dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử khá thú vị, đó là phân tích các đa thức có dạng \( x^4 + a^4 \) và \( ax^4 + b \).

Chúng ta sẽ đi vào bài tập cụ thể: Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) \( x^4 + 324 \)

Đây là một bài toán đòi hỏi chúng ta phải khéo léo áp dụng phương pháp “thêm bớt”.

Bước 1: Nhận dạng dạng bài.
Đa thức \( x^4 + 324 \) có dạng \( a^4 + b^4 \). Tuy nhiên, \( 324 \) không phải là lập phương hay bình phương của một số nguyên duy nhất mà chúng ta có thể dễ dàng ghép cặp.
Chúng ta nhận thấy \( x^4 \) là bình phương của \( x^2 \) và \( 324 \) là bình phương của \( 18 \). Tuy nhiên, để tạo thành hằng đẳng thức bình phương của một tổng, chúng ta cần hạng tử thứ hai là \( 2 \cdot x^2 \cdot 18 = 36x^2 \).

Bước 2: Thêm bớt hạng tử.
Chúng ta sẽ thêm và bớt hạng tử \( 36x^2 \) để tạo thành hằng đẳng thức bình phương của một tổng.
\( x^4 + 324 = x^4 + 36x^2 + 324 – 36x^2 \)

Bước 3: Áp dụng hằng đẳng thức \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).
Nhóm ba hạng tử đầu tiên, ta có:
\( (x^4 + 36x^2 + 324) – 36x^2 \)
\( = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 18 + 18^2 – 36x^2 \)
\( = (x^2 + 18)^2 – 36x^2 \)

Bước 4: Áp dụng hằng đẳng thức \( a^2 – b^2 = (a-b)(a+b) \).
Bây giờ, ta có dạng hiệu hai bình phương, với \( a = x^2 + 18 \) và \( b = 6x \).
\( (x^2 + 18)^2 – (6x)^2 \)
\( = (x^2 + 18 – 6x)(x^2 + 18 + 6x) \)

Bước 5: Sắp xếp các hạng tử theo thứ tự lũy thừa giảm dần (tùy chọn nhưng nên làm cho đẹp).
\( = (x^2 – 6x + 18)(x^2 + 6x + 18) \)

Vậy, \( x^4 + 324 = (x^2 – 6x + 18)(x^2 + 6x + 18) \).

b) \( 4x^4 + 81 \)

Bài toán này cũng tương tự như câu a, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp “thêm bớt”.

Bước 1: Nhận dạng dạng bài.
Đa thức \( 4x^4 + 81 \) có dạng \( ax^4 + b \). Tương tự, ta nhận thấy \( 4x^4 \) là bình phương của \( 2x^2 \) và \( 81 \) là bình phương của \( 9 \).
Để tạo thành hằng đẳng thức bình phương của một tổng, chúng ta cần hạng tử thứ hai là \( 2 \cdot (2x^2) \cdot 9 = 36x^2 \).

Bước 2: Thêm bớt hạng tử.
Chúng ta sẽ thêm và bớt hạng tử \( 36x^2 \).
\( 4x^4 + 81 = 4x^4 + 36x^2 + 81 – 36x^2 \)

Bước 3: Áp dụng hằng đẳng thức \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).
Nhóm ba hạng tử đầu tiên, ta có:
\( (4x^4 + 36x^2 + 81) – 36x^2 \)
\( = (2x^2)^2 + 2 \cdot (2x^2) \cdot 9 + 9^2 – 36x^2 \)
\( = (2x^2 + 9)^2 – 36x^2 \)

Bước 4: Áp dụng hằng đẳng thức \( a^2 – b^2 = (a-b)(a+b) \).
Đây lại là dạng hiệu hai bình phương, với \( a = 2x^2 + 9 \) và \( b = 6x \).
\( (2x^2 + 9)^2 – (6x)^2 \)
\( = (2x^2 + 9 – 6x)(2x^2 + 9 + 6x) \)

Bước 5: Sắp xếp các hạng tử theo thứ tự lũy thừa giảm dần.
\( = (2x^2 – 6x + 9)(2x^2 + 6x + 9) \)

Vậy, \( 4x^4 + 81 = (2x^2 – 6x + 9)(2x^2 + 6x + 9) \).

Các em thấy đó, với bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, đặc biệt là các dạng nâng cao, phương pháp “thêm bớt” để tạo ra hằng đẳng thức là một công cụ rất hữu ích. Hãy luyện tập thường xuyên để thành thạo nhé!

Chúc các em học tốt!