Chào các em học sinh lớp 8 thân mến! Hôm nay, cô trò mình sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán phân tích đa thức thành nhân tử rất hay và quen thuộc. Bài toán của chúng ta hôm nay là: phân tích đa thức (x+1)^3 – (x-1)^3 thành nhân tử.

Chúng ta sẽ cùng nhau đi từng bước để giải bài toán này nhé!

Bước 1: Nhận dạng cấu trúc của đa thức và lựa chọn phương pháp phân tích.

Quan sát đa thức (x+1)^3 – (x-1)^3, chúng ta thấy nó có dạng A^3 – B^3, trong đó A = x+1 và B = x-1.

Khi gặp dạng hiệu hai lập phương này, phương pháp phân tích thành nhân tử hiệu quả nhất chính là áp dụng hằng đẳng thức.

Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương.

Hằng đẳng thức hiệu hai lập phương có dạng:
\[
a^3 – b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)
\]

Áp dụng hằng đẳng thức này với a = x+1 và b = x-1, ta có:

(x+1)^3 – (x-1)^3 = ((x+1) – (x-1)) * ((x+1)^2 + (x+1)(x-1) + (x-1)^2)

Bước 3: Rút gọn biểu thức trong từng dấu ngoặc.

Bây giờ, chúng ta sẽ lần lượt rút gọn các biểu thức trong từng nhóm ngoặc:

* Rút gọn ngoặc thứ nhất: (x+1) – (x-1)
(x+1) – (x-1) = x + 1 – x + 1 = 2

* Rút gọn ngoặc thứ hai: (x+1)^2 + (x+1)(x-1) + (x-1)^2

Để rút gọn biểu thức này, chúng ta cần áp dụng các hằng đẳng thức quen thuộc:

• Hằng đẳng thức bình phương của một tổng: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
• Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: (a+b)(a-b) = a^2 – b^2
• Hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2

Áp dụng vào biểu thức của chúng ta:

• (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1
• (x+1)(x-1) = x^2 – 1
• (x-1)^2 = x^2 – 2x + 1

Ghép lại, ta có:
(x^2 + 2x + 1) + (x^2 – 1) + (x^2 – 2x + 1)

Tiếp tục rút gọn biểu thức này bằng cách nhóm các hạng tử đồng dạng:
(x^2 + x^2 + x^2) + (2x – 2x) + (1 – 1 + 1)
3x^2 + 0x + 1
3x^2 + 1

Bước 4: Kết hợp kết quả của hai ngoặc để có kết quả cuối cùng.

Bây giờ, chúng ta lấy kết quả rút gọn của hai ngoặc nhân với nhau:

(x+1)^3 – (x-1)^3 = 2 * (3x^2 + 1)

= 6x^2 + 2

Vậy, đa thức (x+1)^3 – (x-1)^3 sau khi phân tích thành nhân tử là 6x^2 + 2.

Lưu ý: Trong trường hợp này, biểu thức 6x^2 + 2 còn có thể phân tích tiếp bằng cách đặt nhân tử chung 2, ta được 2(3x^2 + 1). Tuy nhiên, với câu hỏi phân tích đa thức thành nhân tử, 6x^2 + 2 cũng là một kết quả hợp lệ. Nếu đề bài yêu cầu phân tích triệt để, chúng ta sẽ viết là 2(3x^2 + 1).

Cô hy vọng bài giải chi tiết này giúp các em hiểu rõ hơn về cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng hằng đẳng thức. Chúc các em học tốt!