Chào các em, thầy sẽ hướng dẫn các em giải bài tập này nhé.

Đây là một dạng bài phân tích đa thức thành nhân tử khá nâng cao, đòi hỏi chúng ta phải quan sát và vận dụng linh hoạt các phương pháp đã học như nhóm hạng tử, thêm bớt hạng tử, hoặc dùng hằng đẳng thức. Với bài toán này, phương pháp hiệu quả nhất đối với các em ở lớp 8 là kết hợp giữa việc “nhẩm nghiệm” và “tách hạng tử”.

Bước 1: Nhẩm nghiệm của đa thức

Để tìm nhân tử, chúng ta sẽ thử tìm một giá trị của \(x\) làm cho đa thức bằng 0. Ta thường thử với các ước số nguyên của hạng tử tự do (-1295). Các ước của -1295 là \(\pm 1, \pm 5, \pm 7, …\)

Thầy sẽ thử với \(x=7\):
Thay \(x=7\) vào đa thức, ta có:
\(7^4 – 2(7^2) – 144(7) – 1295\)
\(= 2401 – 2(49) – 1008 – 1295\)
\(= 2401 – 98 – 1008 – 1295\)
\(= 2401 – (98 + 1008 + 1295)\)
\(= 2401 – 2401 = 0\)

Vì đa thức có giá trị bằng 0 khi \(x=7\), nên đa thức này sẽ có một nhân tử là \((x-7)\).

Bước 2: Tách các hạng tử để xuất hiện nhân tử chung \((x-7)\)

Bây giờ, chúng ta sẽ khéo léo tách các hạng tử của đa thức ban đầu để có thể nhóm lại và lấy \((x-7)\) làm nhân tử chung.

Ta có:
\(x^4 – 2x^2 – 144x – 1295\)

– Tách hạng tử thứ nhất: Ta bắt đầu với \(x^4\). Để có nhân tử \((x-7)\), ta cần có \(x^3(x-7) = x^4 – 7x^3\). Vì đề bài không có \(-7x^3\), ta phải cộng thêm \(7x^3\) để biểu thức không đổi.
\[= (x^4 – 7x^3) + 7x^3 – 2x^2 – 144x – 1295\]

– Tách hạng tử thứ hai: Bây giờ ta xử lý \(7x^3\). Để có nhân tử \((x-7)\), ta cần có \(7x^2(x-7) = 7x^3 – 49x^2\). Vì ta có \(-2x^2\), ta sẽ tách \(-2x^2\) dựa vào \(-49x^2\).
\[= x^3(x-7) + (7x^3 – 49x^2) + 49x^2 – 2x^2 – 144x – 1295\]
\[= x^3(x-7) + 7x^2(x-7) + 47x^2 – 144x – 1295\]

– Tách hạng tử thứ ba: Ta tiếp tục với \(47x^2\). Để có nhân tử \((x-7)\), ta cần có \(47x(x-7) = 47x^2 – 329x\). Ta sẽ tách \(-144x\) dựa vào \(-329x\).
\[= x^3(x-7) + 7x^2(x-7) + (47x^2 – 329x) + 329x – 144x – 1295\]
\[= x^3(x-7) + 7x^2(x-7) + 47x(x-7) + 185x – 1295\]

– Nhóm hạng tử cuối cùng: Ta kiểm tra xem nhóm cuối cùng \((185x – 1295)\) có nhân tử \((x-7)\) không.
Ta có: \(185x – 1295 = 185 \times x – 185 \times 7 = 185(x-7)\). Rất chính xác!

Bước 3: Nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung

Bây giờ, ta viết lại toàn bộ biểu thức và đặt nhân tử chung:
\[x^3(x-7) + 7x^2(x-7) + 47x(x-7) + 185(x-7)\]
\[= (x-7)(x^3 + 7x^2 + 47x + 185)\]

Bước 4: Tiếp tục phân tích đa thức bậc ba \(x^3 + 7x^2 + 47x + 185\)

Chúng ta lại lặp lại quy trình nhẩm nghiệm cho đa thức trong ngoặc. Ta thử với các ước của 185 như \(\pm 1, \pm 5, …\)
Thầy sẽ thử với \(x = -5\):
\((-5)^3 + 7(-5)^2 + 47(-5) + 185\)
\(= -125 + 7(25) – 235 + 185\)
\(= -125 + 175 – 235 + 185\)
\(= (-125 – 235) + (175 + 185)\)
\(= -360 + 360 = 0\)

Vậy, đa thức \(x^3 + 7x^2 + 47x + 185\) có một nhân tử là \((x – (-5))\) hay \((x+5)\).

Ta lại dùng phương pháp tách hạng tử:
\(x^3 + 7x^2 + 47x + 185\)
\(= (x^3 + 5x^2) + 2x^2 + 47x + 185\)
\(= x^2(x+5) + (2x^2 + 10x) + 37x + 185\)
\(= x^2(x+5) + 2x(x+5) + 37(x+5)\)
\(= (x+5)(x^2 + 2x + 37)\)

Bước 5: Kiểm tra nhân tử cuối cùng và kết luận

Ta đã có:
\(x^4-2x^2-144x-1295 = (x-7)(x+5)(x^2 + 2x + 37)\)

Bây giờ ta xét đa thức \(x^2 + 2x + 37\).
Ta thử biến đổi nó về dạng hằng đẳng thức:
\(x^2 + 2x + 37 = (x^2 + 2x + 1) + 36 = (x+1)^2 + 36\)

Vì \((x+1)^2 \geq 0\) với mọi \(x\), nên \((x+1)^2 + 36 \geq 36 > 0\) với mọi \(x\).
Điều này có nghĩa là đa thức \(x^2 + 2x + 37\) luôn dương và không thể phân tích thành nhân tử (với kiến thức lớp 8).

Kết luận cuối cùng:

Vậy, kết quả phân tích đa thức thành nhân tử là:
\[x^4 – 2x^2 – 144x – 1295 = (x-7)(x+5)(x^2 + 2x + 37)\]

Chúc các em học tốt!