Xin chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về một khái niệm rất quan trọng trong chương trình Toán học lớp 9, đó là “quỹ tích”.

1. Quỹ tích là gì?

Trước tiên, các em hãy hình dung thế này: nếu chúng ta có một tập hợp các điểm mà tất cả chúng đều thỏa mãn một tính chất nào đó, thì tập hợp các điểm đó sẽ tạo thành một hình. Hình này chính là “quỹ tích” của những điểm đó.

Nói một cách chính xác theo định nghĩa trong sách giáo khoa:

Quỹ tích của một tập hợp các điểm là hình gồm tất cả các điểm thỏa mãn một tính chất xác định (và chỉ những điểm đó).

Các em chú ý cho cô cụm từ “và chỉ những điểm đó”. Điều này có nghĩa là:
– Nếu một điểm thuộc quỹ tích, thì nó chắc chắn thỏa mãn tính chất đã cho.
– Nếu một điểm thỏa mãn tính chất đã cho, thì nó chắc chắn thuộc quỹ tích.

2. Ví dụ về quỹ tích

Để hiểu rõ hơn, chúng ta sẽ cùng xem xét một vài ví dụ quen thuộc.

Ví dụ 1: Tập hợp các điểm cách đều hai điểm cố định A và B.

Giả sử chúng ta có hai điểm cố định A và B. Chúng ta muốn tìm tất cả các điểm M sao cho khoảng cách từ M đến A bằng khoảng cách từ M đến B.

* Phân tích:
* Nếu M cách đều A và B, thì MA = MB.
* Theo định nghĩa về đường trung trực của một đoạn thẳng, tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng chính là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

* Kết luận: Quỹ tích của các điểm M cách đều hai điểm cố định A và B là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Hình ảnh minh họa: Một đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và vuông góc với AB.

Ví dụ 2: Tập hợp các điểm cách một điểm cố định O một khoảng không đổi R (R > 0).

Giả sử chúng ta có một điểm cố định O và một số dương R. Chúng ta muốn tìm tất cả các điểm M sao cho khoảng cách từ M đến O bằng R.

* Phân tích:
* Nếu M cách O một khoảng R, thì MO = R.
* Theo định nghĩa về đường tròn, đường tròn tâm O bán kính R là tập hợp tất cả các điểm M sao cho MO = R.

* Kết luận: Quỹ tích của các điểm M cách một điểm cố định O một khoảng không đổi R (R > 0) là đường tròn tâm O bán kính R.

Hình ảnh minh họa: Một vòng tròn có tâm là điểm O và bán kính là R.

Ví dụ 3: Tập hợp các điểm cách một đường thẳng cố định d một khoảng không đổi h (h > 0).

Giả sử chúng ta có một đường thẳng cố định d và một số dương h. Chúng ta muốn tìm tất cả các điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d bằng h.

* Phân tích:
* Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là độ dài đoạn thẳng hạ từ điểm đó vuông góc xuống đường thẳng.
* Vậy, nếu M cách d một khoảng h, tức là có một điểm H thuộc d sao cho MH vuông góc với d và MH = h.
* Có hai trường hợp: M nằm cùng phía với một điểm nào đó trên d so với đường thẳng song song với d qua điểm đó, hoặc M nằm khác phía.
* Cụ thể, nếu ta kẻ hai đường thẳng song song với d, một đường ở “phía trên” d cách d một khoảng h, và một đường ở “phía dưới” d cách d một khoảng h, thì bất kỳ điểm nào trên hai đường thẳng song song này đều cách d một khoảng bằng h.

* Kết luận: Quỹ tích của các điểm M cách một đường thẳng cố định d một khoảng không đổi h (h > 0) là hai đường thẳng song song với d và cách d một khoảng bằng h.

Hình ảnh minh họa: Hai đường thẳng song song với đường thẳng d, mỗi đường cách d một khoảng h, một đường ở phía này và một đường ở phía kia.

Các em thấy đấy, khái niệm quỹ tích giúp chúng ta xác định được hình dạng của tập hợp các điểm thỏa mãn một điều kiện nào đó. Trong các bài học tiếp theo, chúng ta sẽ học cách “chứng minh” quỹ tích, tức là chỉ ra rằng hình mà chúng ta tìm được chính xác là tập hợp các điểm thỏa mãn điều kiện đã cho.

Các em về nhà xem lại bài và chuẩn bị cho tiết học tiếp theo nhé!