Chào em, một câu hỏi rất hay và thường gặp trong chương trình Toán 9. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một cách cẩn thận và rõ ràng, giống như cách chúng ta học trên lớp nhé.

Thầy sẽ hướng dẫn em rút gọn biểu thức: \( \frac{x + 5\sqrt{x} – 24}{(\sqrt{x} – 3)(\sqrt{x} + 3)} \)

***

Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ)
Đây là bước đầu tiên và quan trọng nhất khi làm việc với các biểu thức chứa căn và mẫu số.
– Biểu thức có chứa \( \sqrt{x} \), do đó điều kiện là \( x \ge 0 \).
– Biểu thức có mẫu là \( (\sqrt{x} – 3)(\sqrt{x} + 3) \), do đó mẫu phải khác 0.
\( (\sqrt{x} – 3)(\sqrt{x} + 3) \neq 0 \)

Điều này tương đương với:

• \( \sqrt{x} – 3 \neq 0 \implies \sqrt{x} \neq 3 \implies x \neq 9 \)
• \( \sqrt{x} + 3 \neq 0 \). Vì \( \sqrt{x} \ge 0 \) với mọi \(x\) thỏa mãn, nên \( \sqrt{x} + 3 \ge 3 \). Do đó, điều kiện này luôn đúng.

Kết hợp lại, điều kiện xác định của biểu thức là: \( x \ge 0 \) và \( x \neq 9 \).

Bước 2: Phân tích tử thức thành nhân tử
Bây giờ, chúng ta sẽ tập trung vào tử thức: \( x + 5\sqrt{x} – 24 \).
Đây là một dạng tam thức bậc hai với ẩn là \( \sqrt{x} \). Để phân tích, chúng ta sẽ tìm hai số có tổng bằng 5 và tích bằng -24. Dễ dàng nhận thấy đó là hai số 8 và -3.
Do đó, ta sẽ tách hạng tử \( 5\sqrt{x} \) thành \( 8\sqrt{x} – 3\sqrt{x} \).

Ta có:

\( x + 5\sqrt{x} – 24 \)

\( = x + 8\sqrt{x} – 3\sqrt{x} – 24 \)

Bây giờ, ta nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung:

\( = (x + 8\sqrt{x}) – (3\sqrt{x} + 24) \)

\( = \sqrt{x}(\sqrt{x} + 8) – 3(\sqrt{x} + 8) \)

Tiếp tục đặt nhân tử chung là \( (\sqrt{x} + 8) \), ta được:

\( = (\sqrt{x} – 3)(\sqrt{x} + 8) \)

Bước 3: Rút gọn biểu thức
Sau khi đã phân tích tử thức, ta thay trở lại vào biểu thức ban đầu:

\[ \frac{(\sqrt{x} – 3)(\sqrt{x} + 8)}{(\sqrt{x} – 3)(\sqrt{x} + 3)} \]

Ta thấy cả tử và mẫu đều có nhân tử chung là \( (\sqrt{x} – 3) \). Vì điều kiện xác định của chúng ta là \( x \neq 9 \) nên \( \sqrt{x} – 3 \neq 0 \), do đó ta có thể an toàn triệt tiêu nhân tử này.

\[ = \frac{\sqrt{x} + 8}{\sqrt{x} + 3} \]

Bước 4: Kết luận
Vậy, sau khi rút gọn, biểu thức đã cho bằng \( \frac{\sqrt{x} + 8}{\sqrt{x} + 3} \) với điều kiện \( x \ge 0 \) và \( x \neq 9 \).

***

Tóm tắt các bước giải:

1. Tìm điều kiện xác định: \( x \ge 0 \) và \( x \neq 9 \).
2. Phân tích tử thức \( x + 5\sqrt{x} – 24 \) thành \( (\sqrt{x} – 3)(\sqrt{x} + 8) \).
3. Viết lại biểu thức dưới dạng phân số với tử và mẫu đã được phân tích.
4. Triệt tiêu nhân tử chung \( (\sqrt{x} – 3) \) để ra kết quả cuối cùng.

Hy vọng cách giải chi tiết này sẽ giúp em hiểu rõ bài toán. Chúc em học tốt