Chào các em học sinh thân mến!

Thầy rất vui được hướng dẫn các em giải bài tập này. Đây là một dạng bài tập rất cơ bản và thường gặp trong chương trình Toán 11, giúp chúng ta củng cố các công thức lượng giác quan trọng. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta sẽ đi theo từng bước rõ ràng nhé!

---

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Phân tích yêu cầu và xác định công thức liên quan

Bài toán yêu cầu chúng ta tính giá trị của \( \sin 2a \) khi biết tổng \( \sin a + \cos a = \frac{2}{3} \).

Để tính \( \sin 2a \), chúng ta cần nhớ lại công thức nhân đôi của sin:

\[ \sin 2a = 2 \sin a \cos a \]

Giải thích: Công thức này cho thấy nếu chúng ta tìm được tích \( \sin a \cos a \), chúng ta sẽ dễ dàng tính được \( \sin 2a \). Vậy, nhiệm vụ của chúng ta bây giờ là từ biểu thức \( \sin a + \cos a \) đã cho, làm thế nào để tìm được tích \( \sin a \cos a \)?

Bước 2: Biến đổi biểu thức đã cho bằng cách bình phương hai vế

Chúng ta có biểu thức đã cho là:

\[ \sin a + \cos a = \frac{2}{3} \]

Để từ tổng hoặc hiệu của \( \sin a \) và \( \cos a \) mà có thể xuất hiện tích \( \sin a \cos a \), phương pháp hiệu quả nhất là bình phương cả hai vế của đẳng thức. Khi bình phương, chúng ta sẽ tạo ra một hằng đẳng thức chứa cả \( \sin^2 a \), \( \cos^2 a \) và \( \sin a \cos a \).

Bình phương cả hai vế, ta được:

\[ (\sin a + \cos a)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \]

Giải thích: Khi bình phương tổng \( (\alpha + \beta)^2 \), chúng ta sẽ có \( \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2 \). Ở đây, \( \alpha = \sin a \) và \( \beta = \cos a \). Tích \( 2\alpha\beta \) chính là \( 2 \sin a \cos a \), thành phần chúng ta đang cần tìm.

Bước 3: Khai triển và áp dụng công thức lượng giác cơ bản

Khai triển vế trái của phương trình:

\[ \sin^2 a + 2 \sin a \cos a + \cos^2 a = \frac{4}{9} \]

Đến đây, chúng ta để ý thấy có sự xuất hiện của \( \sin^2 a + \cos^2 a \). Đây là một công thức lượng giác cơ bản (đồng nhất thức Pythagore) mà chúng ta đã học từ lớp 10:

\[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \]

Giải thích: Công thức này rất quan trọng, giúp chúng ta đơn giản hóa biểu thức và loại bỏ các lũy thừa bậc hai của sin và cos, chỉ còn lại tích mà chúng ta mong muốn.

Áp dụng công thức này vào phương trình, ta có:

\[ 1 + 2 \sin a \cos a = \frac{4}{9} \]

Bước 4: Rút gọn và tìm giá trị của tích \( \sin a \cos a \)

Từ phương trình trên, chúng ta sẽ chuyển vế để tìm giá trị của \( 2 \sin a \cos a \):

\[ 2 \sin a \cos a = \frac{4}{9} – 1 \]
\[ 2 \sin a \cos a = \frac{4}{9} – \frac{9}{9} \]
\[ 2 \sin a \cos a = -\frac{5}{9} \]

Giải thích: Bước này chỉ là các phép tính đại số cơ bản để cô lập biểu thức \( 2 \sin a \cos a \).

Bước 5: Kết luận giá trị của \( \sin 2a \)

Ở Bước 1, chúng ta đã xác định rằng \( \sin 2a = 2 \sin a \cos a \). Bây giờ, chúng ta đã tính được \( 2 \sin a \cos a = -\frac{5}{9} \).

Vậy, giá trị của \( \sin 2a \) là:

\[ \sin 2a = -\frac{5}{9} \]

Giải thích: Đây chính là giá trị cuối cùng mà bài toán yêu cầu. Chúng ta đã thành công trong việc liên kết các công thức và thông tin đã cho để đạt được mục tiêu.

---

Kết luận:

Vậy, với \( \sin a + \cos a = \frac{2}{3} \), giá trị của \( \sin 2a \) là \( -\frac{5}{9} \).

Thầy hy vọng bài giải chi tiết này giúp các em hiểu rõ từng bước làm và củng cố kiến thức về các công thức lượng giác cơ bản cũng như phương pháp biến đổi. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại nhé!