Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy rất vui được cùng các em khám phá một bài toán phương trình lượng giác thú vị. Bài này sẽ giúp chúng ta ôn lại một dạng phương trình cơ bản và củng cố kiến thức về giá trị của hàm số lượng giác nhé.

Chúng ta cùng nhau giải quyết bài tập sau:

sin2x – cos2x = 2

Đây là một phương trình lượng giác có dạng \(a \sin u + b \cos u = c\). Đối với dạng này, chúng ta có một phương pháp chung để giải quyết, đó là biến đổi vế trái về dạng \(R \sin(u + \alpha)\) hoặc \(R \cos(u – \alpha)\).

Chúng ta sẽ tiến hành giải bài toán này theo từng bước một:

Bước 1: Xác định dạng của phương trình và các hệ số.

Phương trình đã cho là: \(\sin2x – \cos2x = 2\).

Đây chính là dạng \(a \sin u + b \cos u = c\), với:

• \(u = 2x\)
• \(a = 1\) (hệ số của \(\sin2x\))
• \(b = -1\) (hệ số của \(\cos2x\))
• \(c = 2\) (vế phải của phương trình)

Trước khi biến đổi, chúng ta có thể nhanh chóng kiểm tra điều kiện để phương trình có nghiệm. Phương trình \(a \sin u + b \cos u = c\) có nghiệm khi và chỉ khi \(a^2 + b^2 \ge c^2\). Đây là một kiến thức rất quan trọng trong chương trình Toán 11 của chúng ta.

Bước 2: Biến đổi vế trái của phương trình.

Để biến đổi vế trái \(a \sin u + b \cos u\), chúng ta sẽ nhân và chia cho \(R = \sqrt{a^2 + b^2}\). Giá trị \(R\) này giúp chúng ta tạo ra các hệ số mà chúng ta có thể biểu diễn dưới dạng sin hoặc cos của một góc nào đó.

Trong trường hợp này, \(R = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\).

Chia cả hai vế của phương trình cho \(R = \sqrt{2}\), ta được:

\[ \frac{1}{\sqrt{2}} \sin2x – \frac{1}{\sqrt{2}} \cos2x = \frac{2}{\sqrt{2}} \]

Rút gọn vế phải:

\[ \frac{1}{\sqrt{2}} \sin2x – \frac{1}{\sqrt{2}} \cos2x = \sqrt{2} \]

Bây giờ, chúng ta nhận thấy \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) chính là giá trị của \(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\) và \(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\). Để biến đổi về dạng \(\sin(A-B) = \sin A \cos B – \cos A \sin B\), chúng ta sẽ đặt:

• \(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\)
• \(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\)

Thay vào phương trình, ta có:

\[ \sin2x \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) – \cos2x \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \]

Áp dụng công thức cộng (cụ thể là công thức trừ) của hàm sin: \(\sin(A – B) = \sin A \cos B – \cos A \sin B\), với \(A = 2x\) và \(B = \frac{\pi}{4}\).

Ta được:

\[ \sin\left(2x – \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \]

Bước 3: Biện luận và kết luận về nghiệm của phương trình.

Chúng ta đã đưa phương trình về dạng \(\sin Y = \sqrt{2}\) (với \(Y = 2x – \frac{\pi}{4}\)).

Theo kiến thức về hàm số lượng giác, giá trị của hàm \(\sin Y\) (hoặc \(\cos Y\)) luôn nằm trong đoạn \([-1; 1]\). Tức là, \(-1 \le \sin Y \le 1\).

Tuy nhiên, ở đây chúng ta có \(\sin\left(2x – \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\). Giá trị \(\sqrt{2}\) xấp xỉ là \(1.414\).

Vì \(\sqrt{2} > 1\), mà giá trị lớn nhất của hàm sin chỉ là \(1\), nên không có giá trị nào của \(2x – \frac{\pi}{4}\) (hay \(Y\)) thỏa mãn phương trình này.

Kết luận:

Vậy, phương trình đã cho \(\sin2x – \cos2x = 2\) vô nghiệm.

Các em thấy không, không phải lúc nào phương trình lượng giác cũng có nghiệm đâu nhé! Việc kiểm tra điều kiện ban đầu \(a^2 + b^2 \ge c^2\) (hoặc sau khi biến đổi, kiểm tra xem giá trị vế phải có nằm trong khoảng \([-1; 1]\) hay không) là rất quan trọng để tránh mất thời gian giải những bài toán vô nghiệm. Hãy ghi nhớ thật kỹ điều này để làm bài tập hiệu quả hơn nha!

Chúc các em học tốt!