Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, thầy/cô sẽ cùng các em giải quyết bài toán so sánh biểu thức P với 1 nhé. Đây là dạng bài rất quen thuộc và quan trọng trong chương trình Toán 8 của chúng ta, đặc biệt khi các em làm việc với biểu thức chứa căn bậc hai.

Để so sánh một biểu thức với một số, chúng ta thường xét hiệu của biểu thức đó với số đó. Nếu hiệu dương thì biểu thức lớn hơn, nếu hiệu âm thì biểu thức nhỏ hơn, còn nếu hiệu bằng 0 thì biểu thức bằng số đó.

Bắt đầu thôi!

Đề bài: So sánh P với 1 biết:

\(P= (\sqrt{x} +1+x)/(\sqrt{x}) -1\)

Bước 1: Tìm Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của biểu thức P.

Trước khi thực hiện bất kỳ phép biến đổi nào, chúng ta cần xác định giá trị của \(x\) để biểu thức có nghĩa.

Để biểu thức \(P\) có nghĩa, chúng ta cần đảm bảo hai điều kiện sau:

• Có căn bậc hai của \(x\): \(\sqrt{x}\) có nghĩa khi và chỉ khi \(x \ge 0\).
• Mẫu số phải khác 0: \(\sqrt{x}\) nằm ở mẫu số nên \(\sqrt{x} \ne 0\), điều này có nghĩa là \(x \ne 0\).

Từ hai điều kiện trên, ta suy ra ĐKXĐ của biểu thức P là: \(x > 0\).

Lý do: Việc tìm ĐKXĐ giúp chúng ta đảm bảo rằng các phép toán sau này là hợp lệ và kết quả tìm được là chính xác trong phạm vi cho phép của biến số.

Bước 2: Rút gọn biểu thức P.

Biểu thức P ban đầu khá phức tạp. Chúng ta hãy rút gọn nó để việc so sánh trở nên dễ dàng hơn.

Ta có:

\[P= \frac{\sqrt{x} +1+x}{\sqrt{x}} -1\]

Để rút gọn, chúng ta tách tử số thành từng phần chia cho mẫu số, sau đó thực hiện phép trừ 1:

\[P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{x}{\sqrt{x}} – 1\]

Lý do: Khi tử số là một tổng, ta có thể tách thành tổng của các phân số có cùng mẫu số để đơn giản hóa. Đây là một kỹ thuật thường dùng trong đại số.

Tiến hành rút gọn từng phần:

• \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = 1\) (vì \(x > 0\)).
• \(\frac{x}{\sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x})^2}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}\) (vì \(x > 0\)).

Thay các giá trị đã rút gọn vào biểu thức P:

\[P = 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} – 1\]

Tiếp tục rút gọn:

\[P = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\]

Vậy, sau khi rút gọn, chúng ta được biểu thức P đơn giản hơn nhiều: \(P = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\).

Bước 3: So sánh P với 1 bằng cách xét hiệu P – 1.

Để so sánh P với 1, chúng ta sẽ xét hiệu \(P – 1\):

\[P – 1 = \left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) – 1\]

Để thực hiện phép trừ này, chúng ta cần quy đồng mẫu số. Mẫu số chung là \(\sqrt{x}\).

\[P – 1 = \frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} – \frac{1 \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\]
\[P – 1 = \frac{x}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} – \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\]

Cộng trừ các tử số lại với nhau:

\[P – 1 = \frac{x + 1 – \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\]

Sắp xếp lại tử số:

\[P – 1 = \frac{x – \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}\]

Bước 4: Xét dấu của hiệu P – 1.

Để xét dấu của phân thức \(P – 1\), chúng ta cần xét dấu của tử số và mẫu số.

a) Xét dấu của mẫu số:

Theo ĐKXĐ, chúng ta có \(x > 0\). Do đó, \(\sqrt{x} > 0\).

b) Xét dấu của tử số:

Tử số là \(x – \sqrt{x} + 1\). Đây là một biểu thức có dạng “tam thức bậc hai” đối với \(\sqrt{x}\). Để xét dấu của nó, chúng ta có thể sử dụng phương pháp “hoàn thành bình phương”.

\[x – \sqrt{x} + 1 = (\sqrt{x})^2 – \sqrt{x} + 1\]

Để hoàn thành bình phương, ta nhớ hằng đẳng thức \(A^2 – 2AB + B^2 = (A-B)^2\).

Ở đây, \(A = \sqrt{x}\). Chúng ta cần tìm \(B\). Ta có \(- \sqrt{x}\) tương ứng với \(-2AB\), tức là \(-2 \cdot \sqrt{x} \cdot B = -\sqrt{x}\). Suy ra \(2B = 1\), vậy \(B = 1/2\).

Khi đó, ta thêm và bớt \((1/2)^2 = 1/4\) vào biểu thức:

\[x – \sqrt{x} + 1 = (\sqrt{x})^2 – 2 \cdot \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 – \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1\]
\[x – \sqrt{x} + 1 = \left(\sqrt{x} – \frac{1}{2}\right)^2 – \frac{1}{4} + 1\]
\[x – \sqrt{x} + 1 = \left(\sqrt{x} – \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}\]

Lý do: Việc hoàn thành bình phương giúp chúng ta chuyển biểu thức về dạng tổng của một bình phương và một hằng số. Một bình phương luôn không âm, nên chúng ta có thể dễ dàng xác định dấu của toàn bộ biểu thức.

Vì \(\left(\sqrt{x} – \frac{1}{2}\right)^2 \ge 0\) với mọi \(x\) (do bình phương của một số thực luôn không âm).

Nên, \(\left(\sqrt{x} – \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} \ge 0 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4}\).

Do đó, \(x – \sqrt{x} + 1 > 0\) với mọi \(x > 0\).

c) Kết luận về dấu của P – 1:

Chúng ta có:

• Tử số: \(x – \sqrt{x} + 1 > 0\)
• Mẫu số: \(\sqrt{x} > 0\)

Vì tử số và mẫu số đều dương, nên phân thức \(\frac{x – \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}\) sẽ dương.

Tức là \(P – 1 > 0\).

Bước 5: Kết luận.

Vì \(P – 1 > 0\), suy ra \(P > 1\).

Vậy, với mọi \(x > 0\), biểu thức P luôn lớn hơn 1.

Tổng kết:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta đã thực hiện các bước sau:

1. Tìm điều kiện xác định của biểu thức.
2. Rút gọn biểu thức P để đơn giản hóa.
3. Xét hiệu \(P – 1\) để chuyển bài toán so sánh thành bài toán xét dấu.
4. Phân tích và xét dấu của tử số và mẫu số của hiệu \(P – 1\) (sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương).
5. Đưa ra kết luận cuối cùng.

Thầy/cô mong rằng bài giải chi tiết này sẽ giúp các em nắm vững phương pháp và tự tin hơn khi giải các bài tập tương tự nhé! Cố gắng luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức các em nha!