Chúng ta sẽ lần lượt đi qua từng phần của bài toán.

—

Phần a) Tìm các số nguyên tố n, m biết: \((\frac{1}{3})^m = \frac{1}{81}\)

Để giải bài toán này, chúng ta cần đưa cả hai vế của phương trình về cùng một cơ số.

Bước 1: Phân tích vế phải.
Chúng ta biết rằng \(81\) có thể viết dưới dạng lũy thừa của \(3\).
\(81 = 9 \times 9 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4\).
Vậy, vế phải \( \frac{1}{81} \) sẽ là \( \frac{1}{3^4} \).

Bước 2: Biến đổi vế trái.
Vế trái là \( (\frac{1}{3})^m \). Theo quy tắc lũy thừa của phân số, ta có:
\( (\frac{1}{3})^m = \frac{1^m}{3^m} = \frac{1}{3^m} \).

Bước 3: Đặt hai vế bằng nhau và tìm m.
Bây giờ, phương trình của chúng ta trở thành:
\( \frac{1}{3^m} = \frac{1}{3^4} \).
Khi hai phân số có tử số bằng nhau (\(1\)), thì mẫu số của chúng cũng phải bằng nhau.
Do đó, ta có \( 3^m = 3^4 \).
Suy ra, \( m = 4 \).

Bước 4: Kiểm tra điều kiện của m.
Đề bài yêu cầu tìm số nguyên tố \(m\). Số \(4\) không phải là số nguyên tố vì nó có nhiều hơn hai ước (1, 2, 4).
Vậy, không có số nguyên tố \(m\) nào thỏa mãn yêu cầu đề bài cho phần a).

—

Phần b) Tìm các số nguyên tố n, m biết: \( \frac{1}{9} \times 27^n = 3^n \)

Bước 1: Biến đổi các lũy thừa về cùng cơ số \(3\).
Chúng ta biết:
\(9 = 3^2\), nên \( \frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} \).
\(27 = 3^3\), nên \( 27^n = (3^3)^n \).

Bước 2: Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa.
\( (3^3)^n = 3^{3 \times n} = 3^{3n} \).

Bước 3: Thay thế vào phương trình ban đầu.
Phương trình của chúng ta trở thành:
\( \frac{1}{3^2} \times 3^{3n} = 3^n \).

Bước 4: Áp dụng quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số.
\( \frac{1}{3^2} = 3^{-2} \).
Vậy phương trình là: \( 3^{-2} \times 3^{3n} = 3^n \).
Áp dụng quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số: \( a^x \times a^y = a^{x+y} \).
Ta có: \( 3^{-2 + 3n} = 3^n \).

Bước 5: Đặt số mũ bằng nhau.
Khi hai lũy thừa có cơ số bằng nhau (\(3\)), thì số mũ của chúng cũng phải bằng nhau.
Do đó, \( -2 + 3n = n \).

Bước 6: Giải phương trình tìm n.
Chuyển các hạng tử chứa \(n\) về một vế, các hạng tử tự do về vế còn lại.
\( 3n – n = 2 \)
\( 2n = 2 \)
\( n = \frac{2}{2} \)
\( n = 1 \).

Bước 7: Kiểm tra điều kiện của n.
Đề bài yêu cầu tìm số nguyên tố \(n\). Số \(1\) không phải là số nguyên tố vì nó chỉ có một ước là chính nó.
Vậy, không có số nguyên tố \(n\) nào thỏa mãn yêu cầu đề bài cho phần b).

—

Phần c) Tìm các số nguyên tố n, m biết: \( \frac{8}{2^n} = 2 \)

Bước 1: Biến đổi số \(8\) về lũy thừa của cơ số \(2\).
Chúng ta biết \(8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3\).

Bước 2: Thay thế vào phương trình ban đầu.
Phương trình trở thành:
\( \frac{2^3}{2^n} = 2 \).

Bước 3: Áp dụng quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số.
\( \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y} \).
Ta có: \( 2^{3-n} = 2 \).
Vì \(2\) có thể viết là \(2^1\), nên phương trình là: \( 2^{3-n} = 2^1 \).

Bước 4: Đặt số mũ bằng nhau.
Khi hai lũy thừa có cơ số bằng nhau (\(2\)), thì số mũ của chúng cũng phải bằng nhau.
Do đó, \( 3 – n = 1 \).

Bước 5: Giải phương trình tìm n.
\( 3 – 1 = n \)
\( n = 2 \).

Bước 6: Kiểm tra điều kiện của n.
Đề bài yêu cầu tìm số nguyên tố \(n\). Số \(2\) là một số nguyên tố vì nó chỉ có hai ước là \(1\) và \(2\).
Vậy, \( n = 2 \) là một nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.

—

Phần d) Tìm các số nguyên tố n, m biết: \( (\frac{n-2}{3})^3 = \frac{1}{27} \)

Bước 1: Phân tích vế phải.
Chúng ta biết \(27 = 3 \times 3 \times 3 = 3^3\).
Vậy, \( \frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} \).

Bước 2: Biến đổi vế trái.
Vế trái là \( (\frac{n-2}{3})^3 \).

Bước 3: Đặt hai vế bằng nhau và tìm \( \frac{n-2}{3} \).
Phương trình trở thành:
\( (\frac{n-2}{3})^3 = \frac{1}{3^3} \).
Áp dụng quy tắc nếu \(a^3 = b^3\) thì \(a=b\) (trong tập số thực).
Ta có: \( \frac{n-2}{3} = \frac{1}{3} \).

Bước 4: Giải phương trình tìm n.
Khi hai phân số có mẫu số bằng nhau (\(3\)), thì tử số của chúng cũng phải bằng nhau.
Do đó, \( n – 2 = 1 \).
\( n = 1 + 2 \)
\( n = 3 \).

Bước 5: Kiểm tra điều kiện của n.
Đề bài yêu cầu tìm số nguyên tố \(n\). Số \(3\) là một số nguyên tố vì nó chỉ có hai ước là \(1\) và \(3\).
Vậy, \( n = 3 \) là một nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.

—

Như vậy, chúng ta đã giải xong tất cả các phần của bài toán. Các em về nhà ôn lại các quy tắc về lũy thừa và khái niệm số nguyên tố để làm tốt các bài tập tương tự nhé. Nếu có thắc mắc gì, cứ mạnh dạn hỏi cô!