Chào các em, cô sẽ hướng dẫn các em giải bài tập này một cách chi tiết và dễ hiểu nhé. Đây là một dạng bài toán tìm x, y khá hay trong chương trình Toán lớp 6.

Bài giải

Theo đề bài, chúng ta có phương trình: \(2^x – 2^y = 1920\)

Bước 1: Nhận xét và so sánh x, y

Vì \(2^x – 2^y = 1920\), mà \(1920\) là một số dương nên ta có thể suy ra được \(2^x > 2^y\).
Vì cơ số là 2 (lớn hơn 1), nên từ \(2^x > 2^y\) ta suy ra được \(x > y\).
Vì x và y là các số nguyên dương và \(x > y\), nên \(x – y\) cũng là một số nguyên dương.

Bước 2: Biến đổi phương trình bằng cách đặt thừa số chung

Chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về phép tính lũy thừa đã học. Vì x > y, chúng ta có thể đặt thừa số chung là lũy thừa có số mũ nhỏ hơn, tức là \(2^y\).

Ta có:
\(2^x – 2^y = 2^y \cdot 2^{x-y} – 2^y \cdot 1\)
\[2^y (2^{x-y} – 1) = 1920\]
Đây là bước biến đổi quan trọng nhất của bài toán.

Bước 3: Phân tích số 1920 ra thừa số nguyên tố

Bây giờ, chúng ta sẽ phân tích số 1920 ở vế phải ra thừa số nguyên tố để xem nó có dạng như thế nào.
\(1920 = 192 \cdot 10\)
\( = (64 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5)\)
\( = (2^6 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5)\)
\( = 2^6 \cdot 2^1 \cdot 3 \cdot 5\)
\( = 2^7 \cdot 15\)

Sau khi phân tích, phương trình của chúng ta trở thành:
\[2^y (2^{x-y} – 1) = 2^7 \cdot 15\]
Bước 4: Lập luận và tìm y, x

Bây giờ chúng ta hãy cùng nhau quan sát phương trình trên.
Ở vế trái, ta có hai thừa số là \(2^y\) và \((2^{x-y} – 1)\).
– \(2^y\) là một lũy thừa của 2, nên nó là một số chẵn.
– Vì \(x-y\) là số nguyên dương nên \(2^{x-y}\) là một số chẵn (lớn hơn hoặc bằng 2). Do đó, \((2^{x-y} – 1)\) sẽ là một số lẻ.

Ở vế phải, ta có hai thừa số là \(2^7\) và \(15\).
– \(2^7\) là một lũy thừa của 2, là một số chẵn.
– \(15\) là một số lẻ.

Từ đây, ta có thể “đồng nhất” hai vế của phương trình. Thừa số chẵn ở vế trái phải bằng thừa số chẵn ở vế phải, và thừa số lẻ ở vế trái phải bằng thừa số lẻ ở vế phải.

Do đó, ta có:
1) \(2^y = 2^7\)
2) \(2^{x-y} – 1 = 15\)

Bây giờ chúng ta giải lần lượt từng phương trình:
– Từ phương trình (1): \(2^y = 2^7\), ta dễ dàng suy ra \(y = 7\).
– Từ phương trình (2): \(2^{x-y} – 1 = 15\), ta chuyển vế: \(2^{x-y} = 15 + 1\), tức là \(2^{x-y} = 16\).
Ta biết rằng \(16 = 2^4\), nên ta có \(2^{x-y} = 2^4\). Suy ra \(x – y = 4\).

Bây giờ ta đã có \(y = 7\) và \(x – y = 4\). Thay giá trị của y vào, ta được:
\(x – 7 = 4\)
\(x = 4 + 7\)
\(x = 11\)

Bước 5: Kiểm tra và kết luận

Chúng ta đã tìm được \(x = 11\) và \(y = 7\). Cả hai đều là số nguyên dương, thỏa mãn điều kiện ban đầu.
Hãy thử lại xem kết quả có đúng không:
\(2^{11} – 2^7 = 2048 – 128 = 1920\).
Kết quả hoàn toàn chính xác!

Vậy, cặp số nguyên dương (x, y) cần tìm là (11, 7).

Chúc các em học tốt