Chào các em, cô là giáo viên chuyên dạy Toán lớp 8. Hôm nay, cô sẽ hướng dẫn các em giải bài toán tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức bậc hai. Đây là một dạng bài tập rất quan trọng và thường gặp, giúp các em vận dụng thành thạo hằng đẳng thức. Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Phân tích và xác định phương pháp giải

Biểu thức \(B= 2x – 2x^2 + 3\) là một tam thức bậc hai với hệ số của \(x^2\) là \(-2\) (một số âm). Điều này gợi ý cho chúng ta rằng biểu thức này sẽ có giá trị lớn nhất.

Để tìm giá trị lớn nhất, phương pháp hiệu quả nhất mà chúng ta đã học là “đưa biểu thức về dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu”. Cụ thể, chúng ta sẽ biến đổi B về dạng \(B = -a(x-m)^2 + k\), với \(a > 0\). Vì \(-(x-m)^2 \le 0\), nên B sẽ luôn nhỏ hơn hoặc bằng \(k\). Từ đó, ta kết luận giá trị lớn nhất của B là \(k\).

Lời giải chi tiết từng bước

• Bước 1: Sắp xếp lại các hạng tử của biểu thức.
  Để tiện cho việc nhóm và biến đổi, chúng ta sẽ viết lại biểu thức B theo thứ tự bậc giảm dần của biến \(x\).
  \(B = -2x^2 + 2x + 3\)
• Bước 2: Đặt nhân tử chung cho các hạng tử chứa biến.
  Ta đặt hệ số của \(x^2\) (tức là \(-2\)) ra ngoài làm nhân tử chung cho hai hạng tử đầu tiên.
  \(B = -2(x^2 – x) + 3\)
  Lưu ý: Khi đặt \(-2\) ra ngoài, hạng tử \(+2x\) bên trong ngoặc sẽ trở thành \(-x\). Các em hãy cẩn thận ở bước này nhé!
• Bước 3: Thêm bớt để tạo thành hằng đẳng thức trong ngoặc.
  Bên trong dấu ngoặc, ta có biểu thức \(x^2 – x\). Để tạo thành hằng đẳng thức “Bình phương của một hiệu” \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\), ta xác định:
  • \(a^2 = x^2 \Rightarrow a = x\)
  • \(-2ab = -x \Rightarrow -2 \cdot x \cdot b = -x \Rightarrow b = \frac{1}{2}\)

  Vậy ta cần thêm vào \(b^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}\) vào trong ngoặc. Để giá trị biểu thức không đổi, có thêm vào thì phải bớt ra.

  \(B = -2\left(x^2 – 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 – \left(\frac{1}{2}\right)^2\right) + 3\)
  \(B = -2\left[\left(x^2 – x + \frac{1}{4}\right) – \frac{1}{4}\right] + 3\)

• Bước 4: Viết lại dưới dạng bình phương và rút gọn.
  Nhóm ba hạng tử đầu trong ngoặc vuông thành hằng đẳng thức.
  \(B = -2\left[\left(x – \frac{1}{2}\right)^2 – \frac{1}{4}\right] + 3\)

  Bây giờ, ta dùng tính chất phân phối để nhân \(-2\) vào trong ngoặc vuông.
  \(B = -2\left(x – \frac{1}{2}\right)^2 -2 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) + 3\)
  \(B = -2\left(x – \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} + 3\)
  \(B = -2\left(x – \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{7}{2}\)

• Bước 5: Biện luận để tìm giá trị lớn nhất.
  Chúng ta biết rằng bình phương của một số bất kỳ luôn không âm:
  \(\left(x – \frac{1}{2}\right)^2 \ge 0\) với mọi giá trị của \(x\).

  Khi nhân cả hai vế với một số âm (\(-2\)), dấu của bất đẳng thức sẽ đổi chiều:
  \(-2\left(x – \frac{1}{2}\right)^2 \le 0\) với mọi giá trị của \(x\).

  Cộng \(\frac{7}{2}\) vào cả hai vế của bất đẳng thức:
  \(-2\left(x – \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{7}{2} \le \frac{7}{2}\) với mọi giá trị của \(x\).

  Hay \(B \le \frac{7}{2}\) với mọi giá trị của \(x\).

  Điều này có nghĩa là giá trị của B luôn nhỏ hơn hoặc bằng \(\frac{7}{2}\). Do đó, giá trị lớn nhất của B là \(\frac{7}{2}\).

• Bước 6: Xác định giá trị của x để B đạt giá trị lớn nhất.
  Giá trị lớn nhất xảy ra khi dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra. Điều này tương đương với:
  \(\left(x – \frac{1}{2}\right)^2 = 0\)
  \(x – \frac{1}{2} = 0\)
  \(x = \frac{1}{2}\)

Kết luận

Vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức B là \(\frac{7}{2}\), đạt được khi \(x = \frac{1}{2}\).

Hy vọng với cách giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ bài toán. Hãy luyện tập thêm các bài tập tương tự để nắm vững phương pháp này nhé. Chúc các em học tốt