Tìm số hạng ko chứa x trong khai triển (x³-1/x²)⁵
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng bước một cách cẩn thận nhé.
Bước 1: Nhắc lại công thức khai triển nhị thức Newton
Các em còn nhớ công thức khai triển nhị thức Newton không nào? Biểu thức dạng (a + b)ⁿ có khai triển là:
\[ (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k \]
Trong đó:
– \( C_n^k \) là tổ hợp chập k của n, được tính bằng \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).
– k là chỉ số chạy từ 0 đến n.
Bước 2: Áp dụng công thức vào bài toán cụ thể
Trong bài toán của chúng ta, ta có biểu thức là (x³ – 1/x²)⁵.
Ở đây, ta xác định được:
– \( a = x^3 \)
– \( b = -\frac{1}{x^2} = -x^{-2} \)
– \( n = 5 \)
Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton, số hạng tổng quát thứ (k+1) trong khai triển này sẽ có dạng:
\[ T_{k+1} = C_5^k (x^3)^{5-k} \left(-\frac{1}{x^2}\right)^k \]
Bước 3: Rút gọn và tìm điều kiện để số hạng không chứa x
Bây giờ, chúng ta sẽ tiến hành rút gọn biểu thức \( T_{k+1} \) để xem phần biến x sẽ có số mũ là bao nhiêu.
\[ T_{k+1} = C_5^k (x^{3(5-k)}) (-1)^k (x^{-2})^k \]
\[ T_{k+1} = C_5^k x^{15-3k} (-1)^k x^{-2k} \]
\[ T_{k+1} = C_5^k (-1)^k x^{15-3k-2k} \]
\[ T_{k+1} = C_5^k (-1)^k x^{15-5k} \]
Để số hạng này không chứa x, điều đó có nghĩa là phần biến x phải có số mũ bằng 0.
Vậy, ta cần tìm k sao cho:
\[ 15 – 5k = 0 \]
Bước 4: Giải phương trình tìm k và kiểm tra điều kiện
Ta giải phương trình trên:
\[ 15 = 5k \]
\[ k = \frac{15}{5} \]
\[ k = 3 \]
Bây giờ, chúng ta cần kiểm tra xem giá trị k = 3 có thỏa mãn điều kiện của chỉ số trong khai triển hay không. Chỉ số k phải là một số nguyên và thỏa mãn \( 0 \le k \le n \).
Trong trường hợp này, \( n = 5 \), nên ta cần \( 0 \le k \le 5 \).
Giá trị \( k = 3 \) thỏa mãn điều kiện này.
Bước 5: Tính số hạng không chứa x
Vì ta đã tìm được giá trị k = 3 là giá trị cần tìm, chúng ta sẽ thay giá trị này vào công thức số hạng tổng quát \( T_{k+1} \) để tính giá trị của số hạng không chứa x.
Số hạng không chứa x chính là \( T_{3+1} = T_4 \).
\[ T_4 = C_5^3 (-1)^3 x^{15-5(3)} \]
\[ T_4 = C_5^3 (-1)^3 x^{15-15} \]
\[ T_4 = C_5^3 (-1)^3 x^0 \]
\[ T_4 = C_5^3 (-1) \]
Bây giờ, chúng ta sẽ tính giá trị của \( C_5^3 \):
\[ C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \]
Thay giá trị \( C_5^3 = 10 \) vào biểu thức của \( T_4 \):
\[ T_4 = 10 \times (-1) \]
\[ T_4 = -10 \]
Vậy, số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức (x³ – 1/x²)⁵ là -10.
Hy vọng cách trình bày chi tiết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về bài toán. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé! Chúc các em học tốt!
Đáp án: \(-C^2_5\)
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\left(x^3-\dfrac{1}{x^2}\right)^5=\sum^{k=5}_{k=0}C^k_5\cdot \left(x^3\right)^k\cdot \left(-\dfrac{1}{x^2}\right)^{5-k}\)
\(\to \left(x^3-\dfrac{1}{x^2}\right)^5=\sum^{k=5}_{k=0}C^k_5\cdot x^{3k}\cdot \dfrac{\left(-1\right)^{5-k}}{x^{2\left(5-k\right)}}\)
\(\to \left(x^3-\dfrac{1}{x^2}\right)^5=\sum^{k=5}_{k=0}C^k_5\cdot \left(-1\right)^{5-k}\cdot x^{3k-2\left(5-k\right)}\)
\(\to\)Để số hạng không chứa \(x\)
\(\to 3k-2\left(5-k\right)=0\)
\(\to x=2\)
\(\to\)Số hạng đó là \(C^2_5\cdot \left(-1\right)^{5-2}=-C^2_5\)
Đáp án + giải thích các bước giải: