Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, cô trò chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị về số nguyên âm và phân số. Các em hãy mở sách giáo khoa Toán lớp 6, tập 1, trang … và chúng ta sẽ bắt đầu nhé!

Bài toán yêu cầu chúng ta tìm số nguyên âm lớn nhất, sao cho khi nhân số đó với mỗi phân số sau đây: 3/4, 4/5, 5/6, thì ta đều nhận được kết quả là một số nguyên.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi qua các bước sau:

Bước 1: Phân tích yêu cầu của đề bài

Chúng ta cần tìm một số nguyên âm, gọi số đó là \(x\).
Điều kiện của đề bài là:
1. \(x\) là số nguyên âm.
2. \(x \times \frac{3}{4}\) là một số nguyên.
3. \(x \times \frac{4}{5}\) là một số nguyên.
4. \(x \times \frac{5}{6}\) là một số nguyên.
5. Chúng ta cần tìm số nguyên âm lớn nhất thỏa mãn các điều kiện trên.

Bước 2: Tìm hiểu mối quan hệ giữa số nguyên và phân số để kết quả là số nguyên

Khi nhân một số nguyên \(x\) với một phân số \(\frac{a}{b}\), để kết quả là một số nguyên, ta cần xem xét các yếu tố của tử số (\(a\)) và mẫu số (\(b\)).
Cụ thể, \(x \times \frac{a}{b} = \frac{x \times a}{b}\). Để \(\frac{x \times a}{b}\) là một số nguyên, thì \(x \times a\) phải chia hết cho \(b\).

Tuy nhiên, đề bài cho chúng ta một cách nhìn khác để dễ dàng hơn:
Nếu \(x \times \frac{a}{b}\) là một số nguyên, điều đó có nghĩa là \(x\) phải chia hết cho mẫu số của phân số đó, sau khi ta rút gọn phân số nếu có thể, hoặc nói cách khác, mẫu số của phân số đó (sau khi tối giản) phải là ước của \(x\).
Để hiểu rõ hơn, chúng ta hãy xem xét từng điều kiện:

– Điều kiện 2: \(x \times \frac{3}{4}\) là số nguyên.
Phân số \(\frac{3}{4}\) đã tối giản. Để \(x \times \frac{3}{4}\) là số nguyên, thì \(x\) phải chia hết cho 4. Hay nói cách khác, 4 là ước của \(x\).

– Điều kiện 3: \(x \times \frac{4}{5}\) là số nguyên.
Phân số \(\frac{4}{5}\) đã tối giản. Để \(x \times \frac{4}{5}\) là số nguyên, thì \(x\) phải chia hết cho 5. Hay nói cách khác, 5 là ước của \(x\).

– Điều kiện 4: \(x \times \frac{5}{6}\) là số nguyên.
Phân số \(\frac{5}{6}\) đã tối giản. Để \(x \times \frac{5}{6}\) là số nguyên, thì \(x\) phải chia hết cho 6. Hay nói cách khác, 6 là ước của \(x\).

Bước 3: Kết hợp các điều kiện về ước của số cần tìm

Từ Bước 2, chúng ta thấy rằng số nguyên âm \(x\) phải chia hết cho 4, chia hết cho 5, và chia hết cho 6.
Điều này có nghĩa là \(x\) là một bội chung của 4, 5 và 6.

Để tìm các bội chung của 4, 5 và 6, chúng ta cần tìm Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của chúng trước.

Bước 4: Tìm Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của 4, 5 và 6

Chúng ta phân tích các số 4, 5, 6 ra thừa số nguyên tố:
\(4 = 2^2\)
\(5 = 5^1\)
\(6 = 2^1 \times 3^1\)

Để tìm BCNN, ta lấy tích các thừa số nguyên tố chung và riêng, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất.
BCNN(4, 5, 6) = \(2^2 \times 3^1 \times 5^1\) = \(4 \times 3 \times 5\) = 60.

Vậy, các bội chung của 4, 5 và 6 là các bội của 60.
Tập hợp các bội chung của 4, 5, 6 là: …, -180, -120, -60, 0, 60, 120, 180, …

Bước 5: Tìm số nguyên âm lớn nhất thỏa mãn các điều kiện

Chúng ta đã xác định rằng \(x\) phải là một bội chung của 4, 5 và 6, tức là \(x\) là một bội của 60.
Đề bài yêu cầu tìm số nguyên âm lớn nhất.
Trong tập hợp các bội chung của 60 mà chúng ta liệt kê ở Bước 4, chúng ta cần chọn số nguyên âm lớn nhất.

Các số nguyên âm trong tập hợp này là: …, -180, -120, -60.
Số nguyên âm lớn nhất trong dãy này là số gần với 0 nhất.
Do đó, số nguyên âm lớn nhất là -60.

Chúng ta cùng kiểm tra lại:
Nếu \(x = -60\):
1. \(x\) là số nguyên âm. Đúng.
2. \(-60 \times \frac{3}{4} = \frac{-60 \times 3}{4} = -15 \times 3 = -45\) (là số nguyên).
3. \(-60 \times \frac{4}{5} = \frac{-60 \times 4}{5} = -12 \times 4 = -48\) (là số nguyên).
4. \(-60 \times \frac{5}{6} = \frac{-60 \times 5}{6} = -10 \times 5 = -50\) (là số nguyên).

Tất cả các điều kiện đều được thỏa mãn.

Vậy, số nguyên âm lớn nhất thỏa mãn yêu cầu đề bài là -60.

Kết luận:

Số nguyên âm lớn nhất sao cho nhân số đó với mỗi phân số 3/4, 4/5, 5/6 đều được kết quả là số nguyên là -60.

Các em thấy không, bài toán này đòi hỏi chúng ta phải hiểu rõ khái niệm bội chung và cách tìm BCNN. Khi chúng ta phân tích từng bước nhỏ, bài toán sẽ trở nên dễ dàng hơn rất nhiều.

Các em có thể tự luyện tập thêm với các bài tương tự để củng cố kiến thức nhé! Cô tin rằng với sự chăm chỉ, các em sẽ ngày càng giỏi hơn môn Toán.
Hẹn gặp lại các em trong bài học tiếp theo!