Xin chào các em học sinh lớp 8! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau ôn tập và giải quyết một số bài tập về phương trình bậc hai, sử dụng các kiến thức đã học trong sách giáo khoa. Các em hãy chuẩn bị bút và vở để cùng thầy làm bài nhé!

Chúng ta sẽ đi vào từng câu một.

Câu a: (3x+1)^2-16=0

Đây là một bài toán mà chúng ta có thể sử dụng công thức hiệu hai bình phương. Các em còn nhớ công thức này không? Đó là: \( a^2 – b^2 = (a-b)(a+b) \).

Trong bài này, ta coi \( a = (3x+1) \) và \( b^2 = 16 \). Vậy thì \( b \) sẽ bằng bao nhiêu nhỉ? Đúng rồi, \( b=4 \).

Bây giờ, chúng ta áp dụng công thức vào bài toán:
(3x+1)^2 – 16 = 0
(3x+1)^2 – 4^2 = 0
Áp dụng công thức hiệu hai bình phương, ta có:
[(3x+1) – 4] * [(3x+1) + 4] = 0

Bây giờ, chúng ta sẽ đơn giản hóa các biểu thức trong ngoặc:
(3x + 1 – 4) * (3x + 1 + 4) = 0
(3x – 3) * (3x + 5) = 0

Tích của hai biểu thức bằng 0 khi và chỉ khi ít nhất một trong hai biểu thức bằng 0. Vậy ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: 3x – 3 = 0
Để tìm x, ta cộng 3 vào cả hai vế của phương trình:
3x = 3
Chia cả hai vế cho 3:
x = 3 / 3
x = 1

Trường hợp 2: 3x + 5 = 0
Để tìm x, ta trừ 5 ở cả hai vế của phương trình:
3x = -5
Chia cả hai vế cho 3:
x = -5 / 3

Vậy, phương trình có hai nghiệm là x = 1 và x = -5/3.

Câu b: (5x-4)^2-49x^2=0

Tương tự như câu a, chúng ta cũng có thể áp dụng công thức hiệu hai bình phương \( a^2 – b^2 = (a-b)(a+b) \).

Ở đây, ta coi \( a = (5x-4) \) và \( b^2 = 49x^2 \). Vậy thì \( b \) sẽ bằng bao nhiêu? \( \sqrt{49x^2} = 7x \).

Áp dụng công thức vào bài toán:
(5x-4)^2 – (7x)^2 = 0
[(5x-4) – 7x] * [(5x-4) + 7x] = 0

Đơn giản hóa các biểu thức trong ngoặc:
(5x – 4 – 7x) * (5x – 4 + 7x) = 0
(-2x – 4) * (12x – 4) = 0

Tích của hai biểu thức bằng 0 khi ít nhất một trong hai biểu thức bằng 0. Ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: -2x – 4 = 0
Cộng 4 vào cả hai vế:
-2x = 4
Chia cả hai vế cho -2:
x = 4 / (-2)
x = -2

Trường hợp 2: 12x – 4 = 0
Cộng 4 vào cả hai vế:
12x = 4
Chia cả hai vế cho 12:
x = 4 / 12
x = 1 / 3

Vậy, phương trình có hai nghiệm là x = -2 và x = 1/3.

Câu c: (2x-3)^2-(x-1)^2=0

Lại một lần nữa, chúng ta gặp dạng hiệu hai bình phương \( a^2 – b^2 = (a-b)(a+b) \).

Ở đây, \( a = (2x-3) \) và \( b = (x-1) \).

Áp dụng công thức:
[(2x-3) – (x-1)] * [(2x-3) + (x-1)] = 0

Đơn giản hóa các biểu thức trong ngoặc:
(2x – 3 – x + 1) * (2x – 3 + x – 1) = 0
(x – 2) * (3x – 4) = 0

Ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: x – 2 = 0
Cộng 2 vào cả hai vế:
x = 2

Trường hợp 2: 3x – 4 = 0
Cộng 4 vào cả hai vế:
3x = 4
Chia cả hai vế cho 3:
x = 4 / 3

Vậy, phương trình có hai nghiệm là x = 2 và x = 4/3.

Câu d: (3x-2)(3x+2)-9(x-1)x=0

Ở phần đầu của biểu thức, ta thấy có dạng \( (a-b)(a+b) \). Các em còn nhớ công thức này không? Đó là \( (a-b)(a+b) = a^2 – b^2 \).

Ở đây, \( a = 3x \) và \( b = 2 \).
Vậy, (3x-2)(3x+2) sẽ bằng \( (3x)^2 – 2^2 = 9x^2 – 4 \).

Tiếp theo, ta xét phần thứ hai của biểu thức: \( -9(x-1)x \). Chúng ta sẽ nhân phân phối để làm gọn nó.
-9(x-1)x = -9(x^2 – x) = -9x^2 + 9x.

Bây giờ, chúng ta thay thế vào phương trình ban đầu:
(9x^2 – 4) + (-9x^2 + 9x) = 0

Kết hợp các hạng tử giống nhau:
9x^2 – 4 – 9x^2 + 9x = 0
(9x^2 – 9x^2) + 9x – 4 = 0
0 + 9x – 4 = 0
9x – 4 = 0

Đây là một phương trình bậc nhất. Để tìm x, ta cộng 4 vào cả hai vế:
9x = 4

Chia cả hai vế cho 9:
x = 4 / 9

Vậy, phương trình có một nghiệm là x = 4/9.

Các em thấy đấy, với các công thức đã học như hiệu hai bình phương, nhân phân phối, chúng ta có thể giải quyết các bài toán tưởng chừng phức tạp này một cách dễ dàng. Các em hãy xem lại bài giải, ghi nhớ các bước làm và tự luyện tập thêm nhé. Chúc các em học tốt!