Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, cô trò mình sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán tìm x khá thú vị thuộc chương trình Toán lớp 8. Dạng bài này thường xuất hiện trong các đề kiểm tra và thi tuyển, vì vậy các em hãy chú ý theo dõi nhé.

Bài toán yêu cầu chúng ta tìm x biết:
x⁴ + 2x³ – 4x – 4 = 0

Đây là một phương trình bậc bốn. Để giải phương trình này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp nhóm các hạng tử và phân tích đa thức thành nhân tử.

Bước 1: Nhóm các hạng tử một cách hợp lý.

Quan sát phương trình, ta thấy có các hạng tử x⁴, 2x³, -4x, -4. Cô sẽ thử nhóm các hạng tử có “dấu hiệu” giống nhau hoặc có thể rút được nhân tử chung.

Ta có thể nhóm hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ hai, và hạng tử thứ ba với hạng tử thứ tư.

(x⁴ + 2x³) + (-4x – 4) = 0

Bước 2: Rút nhân tử chung trong từng nhóm.

Ở nhóm thứ nhất (x⁴ + 2x³), nhân tử chung là x³.
Ta rút x³ ra: x³(x + 2)

Ở nhóm thứ hai (-4x – 4), nhân tử chung là -4.
Ta rút -4 ra: -4(x + 1)

Ồ, cô nhận ra một điều. Nếu cô nhóm theo cách khác thì sao nhỉ? Thử lại nào!
Cô sẽ nhóm hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ tư, và hạng tử thứ hai với hạng tử thứ ba.

(x⁴ – 4) + (2x³ – 4x) = 0

Bây giờ, chúng ta sẽ phân tích từng nhóm.

Bước 3: Phân tích các nhóm thành nhân tử.

Nhóm thứ nhất: (x⁴ – 4)
Đây là dạng hiệu của hai bình phương, vì x⁴ = (x²)² và 4 = 2².
Áp dụng công thức hiệu hai bình phương: a² – b² = (a – b)(a + b).
Ở đây, a = x² và b = 2.
Vậy, x⁴ – 4 = (x² – 2)(x² + 2).

Nhóm thứ hai: (2x³ – 4x)
Nhân tử chung ở đây là 2x.
Ta rút 2x ra: 2x(x² – 2).

Bây giờ, thay vào phương trình ban đầu:
(x² – 2)(x² + 2) + 2x(x² – 2) = 0

Bước 4: Tiếp tục phân tích thành nhân tử bằng cách rút nhân tử chung mới.

Quan sát biểu thức mới, ta thấy có nhân tử chung là (x² – 2).
Ta rút nhân tử chung (x² – 2) ra ngoài:
(x² – 2) [ (x² + 2) + 2x ] = 0

Bây giờ, ta rút gọn biểu thức trong ngoặc vuông:
(x² – 2) (x² + 2x + 2) = 0

Bước 5: Giải phương trình tích.

Để tích của hai thừa số bằng 0, thì ít nhất một trong hai thừa số phải bằng 0.
Trường hợp 1: x² – 2 = 0
Trường hợp 2: x² + 2x + 2 = 0

Giải Trường hợp 1: x² – 2 = 0

Đây là phương trình bậc hai đơn giản. Chúng ta có thể chuyển -2 sang vế phải và lấy căn bậc hai.
x² = 2
Áp dụng công thức căn bậc hai: nếu a² = b thì a = ±√b.
Vậy, x = ±√2.
Chúng ta có hai nghiệm từ trường hợp này là x₁ = √2 và x₂ = -√2.

Giải Trường hợp 2: x² + 2x + 2 = 0

Đây là một phương trình bậc hai có dạng ax² + bx + c = 0, với a = 1, b = 2, c = 2.
Để xác định phương trình có nghiệm thực hay không, chúng ta sẽ tính biệt thức delta (Δ).
Công thức tính biệt thức delta: Δ = b² – 4ac.

Δ = 2² – 4 1 2
Δ = 4 – 8
Δ = -4

Vì Δ < 0, phương trình bậc hai x² + 2x + 2 = 0 vô nghiệm trong tập số thực.

Bước 6: Kết luận nghiệm của phương trình ban đầu.

Từ hai trường hợp trên, chúng ta chỉ nhận được nghiệm thực từ Trường hợp 1.
Vậy, các giá trị của x thỏa mãn phương trình đã cho là x = √2 và x = -√2.

Các em thấy không, với phương pháp nhóm hạng tử và phân tích đa thức thành nhân tử, chúng ta đã giải quyết được một phương trình bậc bốn phức tạp. Hãy nhớ luôn chú ý quan sát để tìm ra cách nhóm hợp lý nhất nhé.

Đáp số:
x = √2
x = -√2