Chào các em học sinh yêu quý!
Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán nhìn có vẻ phức tạp nhưng nếu biết cách phân tích và nhóm hợp lý thì sẽ trở nên rất đơn giản nhé. Bài toán của chúng ta là:

Tính \(A= 50+ \frac{50}{3}+\frac{25}{3}+\frac{20}{4}+\frac{10}{3}+\frac{100}{6.7}+…+\frac{100}{98.99}+\frac{1}{99}\)

Phân tích đề bài và định hướng giải:

Khi nhìn vào biểu thức A, chúng ta thấy có các loại số hạng sau:

1. Các số nguyên: 50.
2. Các phân số có cùng mẫu số: \(\frac{50}{3}\), \(\frac{25}{3}\), \(\frac{10}{3}\).
3. Phân số có thể rút gọn: \(\frac{20}{4}\).
4. Một chuỗi các phân số có dạng \(\frac{100}{n(n+1)}\) từ \(\frac{100}{6.7}\) đến \(\frac{100}{98.99}\). Đây là dạng tổng quen thuộc mà chúng ta đã học về “phân tích một phân số thành hiệu hai phân số”.
5. Một phân số cuối cùng: \(\frac{1}{99}\).

Với các dạng số hạng này, chúng ta sẽ có phương pháp giải như sau:

1. Bước 1: Rút gọn các phân số có thể rút gọn và nhóm các số hạng đơn giản (số nguyên, phân số cùng mẫu).
2. Bước 2: Xử lý chuỗi tổng đặc biệt bằng cách phân tích mỗi số hạng thành hiệu của hai phân số để các số hạng trung gian triệt tiêu lẫn nhau.
3. Bước 3: Cộng tất cả các kết quả đã tính được lại với nhau để tìm giá trị cuối cùng của A.

Bây giờ, chúng ta cùng bắt tay vào giải chi tiết từng bước nhé!

Lời giải chi tiết:

Biểu thức đã cho là:

\[ A= 50+ \frac{50}{3}+\frac{25}{3}+\frac{20}{4}+\frac{10}{3}+\frac{100}{6.7}+…+\frac{100}{98.99}+\frac{1}{99} \]

Bước 1: Rút gọn và nhóm các số hạng đơn giản

Trước hết, chúng ta hãy rút gọn phân số \(\frac{20}{4}\) và nhóm các số hạng là số nguyên hoặc có cùng mẫu số.

Ta có: \(\frac{20}{4} = 5\).

Các số hạng là số nguyên: \(50\) và \(5\). Tổng của chúng là \(50 + 5 = 55\).

Các số hạng có mẫu số là 3: \(\frac{50}{3}\), \(\frac{25}{3}\), \(\frac{10}{3}\).

Chúng ta cộng các phân số này lại (vì chúng có cùng mẫu số, chúng ta chỉ cần cộng các tử số):

\[ \frac{50}{3} + \frac{25}{3} + \frac{10}{3} = \frac{50+25+10}{3} = \frac{85}{3} \]

Vậy, phần đầu của biểu thức A sau khi nhóm và rút gọn là tổng của \(55\) và \(\frac{85}{3}\):

\[ 55 + \frac{85}{3} = \frac{55 \times 3}{3} + \frac{85}{3} = \frac{165}{3} + \frac{85}{3} = \frac{165+85}{3} = \frac{250}{3} \]

Lúc này, biểu thức A có thể viết lại thành:

\[ A = \frac{250}{3} + \left( \frac{100}{6.7} + \frac{100}{7.8} + \ldots + \frac{100}{98.99} \right) + \frac{1}{99} \]

(Thầy đã viết thêm một số hạng \(\frac{100}{7.8}\) vào để các em dễ hình dung chuỗi hơn nhé, vì đây là một chuỗi liên tiếp)

Bước 2: Xử lý chuỗi tổng đặc biệt (tổng phân số dạng hiệu)

Chúng ta để ý đến chuỗi các phân số có dạng \(\frac{100}{n(n+1)}\) từ \(\frac{100}{6.7}\) đến \(\frac{100}{98.99}\).

Giải thích: Với các phân số có dạng \(\frac{k}{n(n+1)}\), chúng ta có thể phân tích nó thành hiệu của hai phân số theo công thức sau. Công thức này rất hữu ích vì khi cộng nhiều phân số có dạng này lại, các số hạng trung gian sẽ triệt tiêu lẫn nhau, giúp việc tính toán đơn giản hơn rất nhiều.

\[ \frac{k}{n(n+1)} = k \times \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} \right) \]

Áp dụng công thức này vào chuỗi của chúng ta, với \(k=100\):

\[ \frac{100}{n(n+1)} = 100 \times \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} \right) \]

Vậy, ta xét tổng sau, gọi là S:

\[ S = \frac{100}{6.7} + \frac{100}{7.8} + \ldots + \frac{100}{98.99} \]
\[ S = 100 \times \left( \frac{1}{6} – \frac{1}{7} \right) + 100 \times \left( \frac{1}{7} – \frac{1}{8} \right) + \ldots + 100 \times \left( \frac{1}{98} – \frac{1}{99} \right) \]

Chúng ta có thể đặt thừa số chung 100 ra ngoài:

\[ S = 100 \times \left[ \left( \frac{1}{6} – \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} – \frac{1}{8} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{98} – \frac{1}{99} \right) \right] \]

Quan sát trong dấu ngoặc vuông, ta thấy \(\frac{1}{7}\) và \(-\frac{1}{7}\) triệt tiêu nhau, \(\frac{1}{8}\) và \(-\frac{1}{8}\) triệt tiêu nhau, và cứ thế tiếp diễn cho đến \(\frac{1}{98}\) và \(-\frac{1}{98}\).

Vậy, chỉ còn lại số hạng đầu tiên và số hạng cuối cùng:

\[ S = 100 \times \left( \frac{1}{6} – \frac{1}{99} \right) \]

Tiến hành tính toán trong ngoặc (quy đồng mẫu số chung nhỏ nhất của 6 và 99 là 198):

\[ \frac{1}{6} – \frac{1}{99} = \frac{1 \times 33}{6 \times 33} – \frac{1 \times 2}{99 \times 2} = \frac{33}{198} – \frac{2}{198} = \frac{33-2}{198} = \frac{31}{198} \]

Vậy:

\[ S = 100 \times \frac{31}{198} = \frac{3100}{198} \]

Chúng ta có thể rút gọn phân số này bằng cách chia cả tử và mẫu cho 2:

\[ S = \frac{3100 \div 2}{198 \div 2} = \frac{1550}{99} \]

Bước 3: Cộng tất cả các kết quả lại

Bây giờ chúng ta sẽ ghép các phần đã tính toán lại với phân số cuối cùng \(\frac{1}{99}\).

Nhớ lại biểu thức A sau bước 1 và 2:

\[ A = \frac{250}{3} + S + \frac{1}{99} \]

Thay giá trị của S vào:

\[ A = \frac{250}{3} + \frac{1550}{99} + \frac{1}{99} \]

Cộng hai phân số có cùng mẫu số 99 trước:

\[ \frac{1550}{99} + \frac{1}{99} = \frac{1550+1}{99} = \frac{1551}{99} \]

Phân số \(\frac{1551}{99}\) có thể rút gọn. Để rút gọn, ta tìm ước chung lớn nhất của tử và mẫu.
Ta thấy 1551 có tổng các chữ số là \(1+5+5+1 = 12\), chia hết cho 3.
Ta thấy 99 có tổng các chữ số là \(9+9 = 18\), chia hết cho 3.
Vậy cả tử và mẫu đều chia hết cho 3.

Ngoài ra, 1551 có \(1-5+5-1 = 0\), nên chia hết cho 11. Tương tự, 99 cũng chia hết cho 11.

Vì cả tử và mẫu đều chia hết cho 3 và 11, nên chúng chia hết cho \(3 \times 11 = 33\).

\[ \frac{1551 \div 33}{99 \div 33} = \frac{47}{3} \]

Vậy, biểu thức A trở thành:

\[ A = \frac{250}{3} + \frac{47}{3} \]

Thực hiện phép cộng hai phân số có cùng mẫu số:

\[ A = \frac{250+47}{3} = \frac{297}{3} \]

Cuối cùng, chúng ta thực hiện phép chia:

\[ \frac{297}{3} = 99 \]

Kết luận:

Vậy, giá trị của biểu thức A là 99.

\[ A = 99 \]

Lời nhắn gửi:

Các em thấy không, một bài toán nhìn ban đầu tưởng chừng phức tạp nhưng nếu chúng ta bình tĩnh phân tích, áp dụng đúng các kiến thức đã học về phân số, đặc biệt là dạng tổng đặc biệt, thì bài toán sẽ trở nên rất đơn giản. Hãy luôn nhớ cách nhóm các số hạng hợp lý và kỹ năng rút gọn phân số nhé!

Chúc các em học tốt!