Xin chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập giới hạn khá quen thuộc và thú vị trong chương trình Toán 11 của chúng ta. Bài toán yêu cầu chúng ta tính giới hạn sau:

\[ \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} – 2}{x – 4} \]

Phân tích bài toán:
Đầu tiên, chúng ta hãy thử thay giá trị \(x = 4\) vào biểu thức để xem giới hạn này có dạng gì nhé.
Nếu thay \(x = 4\) vào tử số, ta được: \(\sqrt{4} – 2 = 2 – 2 = 0\).
Nếu thay \(x = 4\) vào mẫu số, ta được: \(4 – 4 = 0\).
Như vậy, giới hạn này có dạng vô định \(\frac{0}{0}\). Đây là một trong những dạng vô định chúng ta thường gặp, và để giải quyết, chúng ta cần phải biến đổi biểu thức để khử đi nhân tử gây ra dạng vô định đó.

Phương pháp giải:
Khi gặp dạng vô định \(\frac{0}{0}\) mà có chứa căn thức bậc hai, một phương pháp hiệu quả mà chúng ta hay dùng là nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp.

Trong bài toán này, tử số là \(\sqrt{x} – 2\). Biểu thức liên hợp của nó là \(\sqrt{x} + 2\).
Khi nhân một biểu thức với biểu thức liên hợp của nó, chúng ta sẽ sử dụng hằng đẳng thức \( (a – b)(a + b) = a^2 – b^2 \). Điều này sẽ giúp chúng ta loại bỏ được căn bậc hai và đưa về dạng đa thức dễ xử lý hơn.

Lời giải chi tiết:
Chúng ta sẽ tiến hành các bước như sau:

Bước 1: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của tử số, là \(\sqrt{x} + 2\).
\[ \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} – 2}{x – 4} = \lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x} – 2)(\sqrt{x} + 2)}{(x – 4)(\sqrt{x} + 2)} \]

Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức \(a^2 – b^2\) cho tử số.
Tử số sẽ trở thành: \( (\sqrt{x})^2 – 2^2 = x – 4 \).
Vậy biểu thức trở thành:
\[ \lim_{x \to 4} \frac{x – 4}{(x – 4)(\sqrt{x} + 2)} \]

Bước 3: Rút gọn biểu thức.
Vì \(x \to 4\), điều này có nghĩa là \(x\) tiến rất gần đến 4 nhưng \(x \neq 4\). Do đó, \(x – 4 \neq 0\).
Chúng ta có thể rút gọn nhân tử \((x – 4)\) ở cả tử và mẫu số:
\[ \lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \]

Bước 4: Thay giá trị \(x = 4\) vào biểu thức đã được rút gọn để tính giới hạn.
Sau khi rút gọn, biểu thức không còn dạng vô định nữa. Ta chỉ cần thay \(x = 4\) vào:
\[ \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4} \]

Kết luận:
Vậy, giới hạn của biểu thức đã cho là:
\[ \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} – 2}{x – 4} = \frac{1}{4} \]

Các em thấy đó, chỉ cần nắm vững các kỹ thuật biến đổi đại số cơ bản và quy tắc tính giới hạn của hàm số, chúng ta có thể dễ dàng giải quyết các bài toán dạng này. Hãy luôn nhớ kiểm tra dạng vô định trước khi bắt tay vào giải nhé!

Chúc các em học tốt!