Tính tan20.tan40.tan60.tan80 mik đang cần gấp ạ,cảm ơn mn ạ

Chào em! Với bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức về công thức lượng giác đã học trong chương trình Toán lớp 11 để giải quyết nhé. Đây là một dạng bài khá hay gặp và có một “mẹo” nhỏ giúp chúng ta tính toán nhanh chóng hơn.

Lời giải chi tiết:

Để tính giá trị của biểu thức $P=\tan {20}^{\circ }\cdot \tan {40}^{\circ }\cdot \tan {60}^{\circ }\cdot \tan {80}^{\circ }$, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định giá trị lượng giác đặc biệt.

Trong biểu thức, chúng ta dễ dàng nhận thấy có $\tan {60}^{\circ }$. Đây là một giá trị lượng giác đặc biệt mà chúng ta đã học.

Ta có: $\tan {60}^{\circ }=\sqrt{3}$.

Vậy biểu thức trở thành: $P=\tan {20}^{\circ }\cdot \tan {40}^{\circ }\cdot \sqrt{3}\cdot \tan {80}^{\circ }$.

Sắp xếp lại: $P=\sqrt{3}\cdot (\tan {20}^{\circ }\cdot \tan {40}^{\circ }\cdot \tan {80}^{\circ })$.

Bước 2: Áp dụng công thức đặc biệt cho tích các hàm tan.

Quan sát các góc còn lại ${20}^{\circ },{40}^{\circ },{80}^{\circ }$, chúng ta có thể thấy chúng có mối liên hệ đặc biệt với nhau. Nếu đặt $x={20}^{\circ }$, thì:

• ${40}^{\circ }={60}^{\circ }-{20}^{\circ }={60}^{\circ }-x$
• ${80}^{\circ }={60}^{\circ }+{20}^{\circ }={60}^{\circ }+x$

Lý do chúng ta áp dụng phương pháp này là vì trong lượng giác có một công thức đặc biệt cho tích của các hàm tan có dạng $x,{60}^{\circ }-x,{60}^{\circ }+x$. Công thức đó là:

$$\tan x\cdot \tan ({60}^{\circ }-x)\cdot \tan ({60}^{\circ }+x)=\tan \left(3x\right)$$

Đây là công thức thường được suy ra từ các công thức cộng, công thức nhân ba (nhân ba góc) đối với sin và cos mà chúng ta đã học. Việc sử dụng công thức này sẽ giúp bài toán trở nên gọn gàng và đơn giản hơn rất nhiều.

Áp dụng công thức trên với $x={20}^{\circ }$, ta có:

$$\tan {20}^{\circ }\cdot \tan ({60}^{\circ }-{20}^{\circ })\cdot \tan ({60}^{\circ }+{20}^{\circ })=\tan (3\cdot {20}^{\circ })$$

$$\tan {20}^{\circ }\cdot \tan {40}^{\circ }\cdot \tan {80}^{\circ }=\tan {60}^{\circ }$$

Bước 3: Thay thế và tính toán kết quả cuối cùng.

Từ Bước 2, chúng ta đã có $\tan {20}^{\circ }\cdot \tan {40}^{\circ }\cdot \tan {80}^{\circ }=\tan {60}^{\circ }$.

Thay giá trị này vào biểu thức $P$ ở Bước 1:

$$P=\sqrt{3}\cdot (\tan {20}^{\circ }\cdot \tan {40}^{\circ }\cdot \tan {80}^{\circ })$$

$$P=\sqrt{3}\cdot \tan {60}^{\circ }$$

Vì $\tan {60}^{\circ }=\sqrt{3}$, ta có:

$$P=\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}$$

$$P=3$$

Vậy giá trị của biểu thức là $3$.