Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán hoán vị rất hay và quen thuộc trong chương trình Toán 10. Dạng bài toán này yêu cầu chúng ta sắp xếp các phần tử với một điều kiện ràng buộc.

Để giải quyết bài toán có cụm từ “không đứng gần nhau” hoặc “không kề nhau”, một phương pháp rất hiệu quả là chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phần bù. Tức là:

Số cách xếp thỏa mãn yêu cầu = (Tổng số cách xếp) – (Số cách xếp không thỏa mãn yêu cầu)

Trong bài toán này:
– Tổng số cách xếp: là xếp 5 học sinh một cách ngẫu nhiên.
– Số cách xếp không thỏa mãn: là xếp sao cho An và Bình luôn đứng gần nhau.

Chúng ta sẽ đi vào từng bước chi tiết nhé.

Bước 1: Tính tổng số cách xếp 5 học sinh thành một hàng dọc.
Mỗi cách xếp 5 học sinh thành một hàng dọc là một hoán vị của 5 phần tử.
Theo công thức hoán vị, số cách xếp 5 học sinh là:
\[P_5 = 5!\]
Ta có: \(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\) cách.
Vậy có tất cả 120 cách xếp 5 học sinh thành một hàng dọc.

Bước 2: Tính số cách xếp sao cho An và Bình luôn đứng gần nhau.
Để An và Bình luôn đứng gần nhau, ta coi An và Bình là một “nhóm” hay một phần tử duy nhất, tạm gọi là nhóm X.

– Bây giờ, chúng ta không xếp 5 học sinh nữa, mà ta xếp “nhóm X” và 3 học sinh còn lại. Như vậy, ta chỉ cần xếp 4 phần tử.
Số cách xếp 4 phần tử này là một hoán vị của 4, tức là:
\[P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \text{ cách.}\]
– Tuy nhiên, trong “nhóm X” gồm An và Bình, hai bạn này có thể đổi chỗ cho nhau (An đứng trước Bình, hoặc Bình đứng trước An). Do đó, có 2 cách sắp xếp trong nội bộ nhóm X.
\[P_2 = 2! = 2 \times 1 = 2 \text{ cách.}\]
– Theo quy tắc nhân, số cách xếp sao cho An và Bình luôn đứng cạnh nhau là:
\[4! \times 2! = 24 \times 2 = 48 \text{ cách.}\]
Vậy có 48 cách xếp sao cho An và Bình luôn đứng cạnh nhau.

Bước 3: Tính số cách xếp sao cho An và Bình không đứng gần nhau.
Như đã phân tích ở đầu, ta sẽ lấy tổng số cách xếp trừ đi số cách xếp mà An và Bình đứng cạnh nhau.
Số cách xếp cần tìm là:
\[120 – 48 = 72 \text{ cách.}\]

Kết luận:
Vậy, có 72 cách xếp 5 học sinh thành hàng dọc sao cho An và Bình không đứng gần nhau.

Qua bài tập này, các em hãy ghi nhớ phương pháp “phần bù” nhé. Đây là một công cụ rất mạnh để giải các bài toán đếm có điều kiện phủ định (“không”, “ít nhất một”…). Chúc các em học tốt