Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, cô trò mình sẽ cùng nhau tìm hiểu một bài toán thú vị về số nguyên tố. Các em còn nhớ số nguyên tố là gì không nào?

Một số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó, được gọi là số nguyên tố. Ví dụ: 2, 3, 5, 7 là các số nguyên tố.

Bài toán của chúng ta hôm nay là: Từ 1 đến 100 có bao nhiêu số là số nguyên tố?

Đây là một bài toán đòi hỏi sự kiên nhẫn và phương pháp loại trừ. Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp sàng Eratosthenes để tìm ra các số nguyên tố từ 1 đến 100.

Bước 1: Liệt kê tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 100.

Bước 2: Loại bỏ số 1.
Số 1 không phải là số nguyên tố vì nó chỉ có một ước là chính nó.

Bước 3: Vòng lặp đầu tiên – Số nguyên tố đầu tiên là 2.
* Giữ lại số 2 (vì 2 là số nguyên tố).
* Loại bỏ tất cả các bội của 2 (tức là tất cả các số chẵn lớn hơn 2) trong danh sách còn lại. Các số bị loại bỏ là: 4, 6, 8, 10, …, 100.
* Lý do: Bất kỳ số chẵn nào lớn hơn 2 đều chia hết cho 2, do đó nó có ít nhất ba ước là 1, 2 và chính nó.

Bước 4: Vòng lặp thứ hai – Số nguyên tố tiếp theo còn lại là 3.
* Giữ lại số 3 (vì 3 là số nguyên tố).
* Loại bỏ tất cả các bội của 3 (tức là các số chia hết cho 3) trong danh sách còn lại mà chưa bị loại bỏ ở bước trước. Các bội của 3 là: 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99. (Lưu ý: một số đã bị loại bỏ ở bước 3 như 6, 12, 18,… sẽ không cần xét lại).
* Lý do: Bất kỳ bội nào của 3 lớn hơn 3 đều chia hết cho 3, do đó nó có ít nhất ba ước là 1, 3 và chính nó.

Bước 5: Vòng lặp thứ ba – Số nguyên tố tiếp theo còn lại là 5.
* Giữ lại số 5 (vì 5 là số nguyên tố).
* Loại bỏ tất cả các bội của 5 (tức là các số kết thúc bằng 0 hoặc 5) trong danh sách còn lại mà chưa bị loại bỏ ở các bước trước. Các bội của 5 là: 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100. (Lưu ý: nhiều số trong danh sách này đã bị loại bỏ ở bước 3 và 4).
* Lý do: Bất kỳ bội nào của 5 lớn hơn 5 đều chia hết cho 5, do đó nó có ít nhất ba ước là 1, 5 và chính nó.

Bước 6: Vòng lặp thứ tư – Số nguyên tố tiếp theo còn lại là 7.
* Giữ lại số 7 (vì 7 là số nguyên tố).
* Loại bỏ tất cả các bội của 7 trong danh sách còn lại mà chưa bị loại bỏ. Các bội của 7 là: 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98.
* Lý do: Bất kỳ bội nào của 7 lớn hơn 7 đều chia hết cho 7, do đó nó có ít nhất ba ước là 1, 7 và chính nó.

Dừng lại khi nào?
Chúng ta chỉ cần tiếp tục quá trình này với các số nguyên tố cho đến khi bình phương của số nguyên tố đó lớn hơn 100. Số nguyên tố lớn nhất mà bình phương của nó nhỏ hơn hoặc bằng 100 là 10 (vì 10^2 = 100), nhưng 10 không phải là số nguyên tố. Số nguyên tố tiếp theo là 11, và 11^2 = 121 > 100. Do đó, chúng ta chỉ cần xét các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng căn bậc hai của 100, tức là nhỏ hơn hoặc bằng 10. Các số nguyên tố đó là 2, 3, 5, 7. Chúng ta đã hoàn thành việc loại bỏ bội của các số này.

Bước 7: Đếm số còn lại.
Sau khi thực hiện các bước loại bỏ trên, những số còn lại trong danh sách từ 1 đến 100 là các số nguyên tố. Chúng ta hãy đếm chúng:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Kết luận:
Bằng cách đếm các số còn lại, ta thấy có tất cả 25 số là số nguyên tố từ 1 đến 100.

Vậy, đáp án của bài toán là: Từ 1 đến 100 có 25 số là số nguyên tố.

Các em thấy không, dù phương pháp này đòi hỏi sự tỉ mỉ, nhưng nó giúp chúng ta xác định chính xác các số nguyên tố trong một khoảng cho trước. Các em hãy thử áp dụng phương pháp này để tìm số nguyên tố trong một khoảng khác nhé!