Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, thầy/cô sẽ cùng các em giải đáp một câu hỏi rất thú vị liên quan đến phép chia có dư mà chúng ta đã học. Đó là: “Vì sao 1 chia 3 dư 1?”

Để trả lời câu hỏi này một cách chính xác theo kiến thức Toán học, chúng ta cần nhớ lại định nghĩa về phép chia hết và phép chia có dư trong tập hợp số nguyên mà các em đã được học ở lớp 6 và tiếp tục củng cố ở lớp 7.

Bước 1: Nhớ lại công thức của phép chia có dư

Trong Toán học, khi ta thực hiện phép chia một số nguyên \(a\) cho một số nguyên \(b\) (với \(b \ne 0\)), chúng ta luôn có thể viết dưới dạng:

\[a = b \cdot q + r\]

Trong đó:

• \(a\) là số bị chia.
• \(b\) là số chia.
• \(q\) là thương (là một số nguyên).
• \(r\) là số dư (cũng là một số nguyên).

Điều kiện cực kỳ quan trọng của số dư \(r\) là:

\[0 \le r < |b|\]

Điều kiện này có nghĩa là số dư phải là một số không âm (lớn hơn hoặc bằng 0) và nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của số chia.

Giải thích: Công thức này cho chúng ta biết rằng, số bị chia có thể được “phân tích” thành nhiều lần số chia cộng với một phần “còn lại” mà không thể chia thêm cho số chia được nữa (phần còn lại đó chính là số dư). Điều kiện \(0 \le r < |b|\) đảm bảo rằng số dư là duy nhất và là số nhỏ nhất không âm còn lại sau khi chia.

Bước 2: Áp dụng công thức vào bài toán “1 chia 3”

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng công thức trên cho trường hợp \(a = 1\) và \(b = 3\).

Chúng ta cần tìm một số nguyên \(q\) và một số nguyên \(r\) sao cho:

\[1 = 3 \cdot q + r\]

Và \(0 \le r < |3|\), tức là \(0 \le r < 3\).

Hãy thử các giá trị nguyên của \(q\):

• Nếu ta chọn \(q = 0\):

  Thay vào công thức, ta có:

  \[1 = 3 \cdot 0 + r\]
  \[1 = 0 + r\]
  \[r = 1\]

  Bây giờ, chúng ta kiểm tra điều kiện của số dư \(r\):

  \[0 \le 1 < 3\]

  Điều kiện này đúng! Số dư \(r=1\) thỏa mãn yêu cầu.

• Nếu ta thử chọn \(q = 1\) (giả sử):

  Thay vào công thức, ta có:

  \[1 = 3 \cdot 1 + r\]
  \[1 = 3 + r\]
  \[r = 1 – 3\]
  \[r = -2\]

  Kiểm tra điều kiện của số dư \(r\):

  \[0 \le -2 < 3\]

  Điều kiện này sai! Bởi vì \(-2\) không lớn hơn hoặc bằng \(0\). Do đó, \(q=1\) không phải là thương của phép chia có dư trong trường hợp này.

Bước 3: Kết luận

Chỉ có giá trị \(q = 0\) và \(r = 1\) là thỏa mãn đồng thời công thức của phép chia và điều kiện của số dư (\(0 \le r < |b|\)).

Tóm lại:

Vì khi chia 1 cho 3, chúng ta có thể viết:

\[1 = 3 \cdot 0 + 1\]

Trong đó, thương \(q = 0\) và số dư \(r = 1\).

Số dư \(r = 1\) thỏa mãn điều kiện \(0 \le r < 3\).

Do đó, theo định nghĩa của phép chia có dư, 1 chia 3 dư 1.

Ví dụ thực tế dễ hình dung:

Hãy tưởng tượng các em có 1 cái bánh và muốn chia đều cho 3 người bạn. Các em không thể chia mỗi người được 1 cái bánh nguyên vẹn. Vì vậy, mỗi người bạn sẽ nhận được 0 cái bánh nguyên vẹn, và các em sẽ còn lại 1 cái bánh. Cái bánh còn lại đó chính là số dư.

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn về phép chia có dư và biết cách áp dụng công thức cũng như điều kiện của số dư một cách chính xác nhé!