Chào các em học sinh thân mến!
Hôm nay, cô/thầy sẽ hướng dẫn các em giải một bài tập rất quan trọng trong chương trình Đại số lớp 8 của chúng ta, đó là phân tích một biểu thức thành nhân tử, cụ thể là viết biểu thức dưới dạng tích. Bài toán yêu cầu chúng ta biến đổi biểu thức đã cho dưới dạng tích.

Để giải quyết bài toán này một cách chính xác và hiệu quả, chúng ta cần nhớ lại một hằng đẳng thức đáng nhớ mà chúng ta đã học, đó là hằng đẳng thức hiệu hai lập phương.

Chúng ta sẽ cùng nhau thực hiện từng bước một nhé!

Bước 1: Nhận dạng và đưa biểu thức về dạng hiệu của hai lập phương.
Biểu thức mà chúng ta cần phân tích là: \( 8x^3 – 27y^3 \).
Hãy quan sát kỹ từng số hạng trong biểu thức này:

• Số hạng thứ nhất là \( 8x^3 \). Chúng ta cần tìm xem \( 8x^3 \) là lập phương của biểu thức nào.

Để làm điều này, chúng ta phân tích từng thành phần:

• Số 8 là lập phương của 2, vì \( 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \).
• \( x^3 \) là lập phương của x.

Vậy, ta có thể viết \( 8x^3 \) dưới dạng \( (2x)^3 \).
Đây chính là “số thứ nhất” (hay “a”) trong hằng đẳng thức của chúng ta, tức là \( a = 2x \).


• Số hạng thứ hai là \( 27y^3 \). Tương tự, chúng ta phân tích:
• Số 27 là lập phương của 3, vì \( 3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27 \).
• \( y^3 \) là lập phương của y.

Vậy, ta có thể viết \( 27y^3 \) dưới dạng \( (3y)^3 \).
Đây chính là “số thứ hai” (hay “b”) trong hằng đẳng thức của chúng ta, tức là \( b = 3y \).

Sau khi nhận dạng, biểu thức \( 8x^3 – 27y^3 \) có thể được viết lại như sau:
\[ (2x)^3 – (3y)^3 \]

Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương.
Hằng đẳng thức hiệu hai lập phương mà chúng ta đã học có dạng:
\[ a^3 – b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) \]
Từ Bước 1, chúng ta đã xác định được:
\( a = 2x \)
\( b = 3y \)

Bây giờ, chúng ta sẽ thay thế \( a \) và \( b \) vào công thức hằng đẳng thức trên. Cụ thể, chúng ta thay \( a \) bằng \( 2x \) và \( b \) bằng \( 3y \) vào vế phải của công thức \( (a-b)(a^2 + ab + b^2) \):
\[ (2x – 3y)((2x)^2 + (2x)(3y) + (3y)^2) \]

Bước 3: Rút gọn các biểu thức trong ngoặc.
Chúng ta cần tính toán và rút gọn các số hạng trong ngoặc vuông thứ hai:

• Tính \( (2x)^2 \): Khi nâng một tích lên lũy thừa, chúng ta nâng từng thừa số lên lũy thừa đó. Vậy, \( (2x)^2 = 2^2 \cdot x^2 = 4x^2 \).
• Tính \( (2x)(3y) \): Đây là phép nhân các đơn thức. Chúng ta nhân các hệ số với nhau và nhân các biến với nhau. Vậy, \( (2x)(3y) = (2 \cdot 3) \cdot (x \cdot y) = 6xy \).
• Tính \( (3y)^2 \): Tương tự như \( (2x)^2 \), ta có \( (3y)^2 = 3^2 \cdot y^2 = 9y^2 \).

Sau khi đã tính toán các giá trị này, chúng ta thay chúng vào biểu thức ở Bước 2:
\[ (2x – 3y)(4x^2 + 6xy + 9y^2) \]

Đây chính là dạng tích của biểu thức ban đầu.

Kết luận:
Vậy, biểu thức \( 8x^3 – 27y^3 \) được viết dưới dạng tích là:
\[ 8x^3 – 27y^3 = (2x – 3y)(4x^2 + 6xy + 9y^2) \]

Lời khuyên:
Các em thấy đấy, việc áp dụng thành thạo các hằng đẳng thức đáng nhớ là chìa khóa để giải quyết nhanh chóng và chính xác các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử. Hãy luôn luyện tập để ghi nhớ và nhận dạng nhanh các dạng toán này nhé!
Chúc các em luôn học tốt môn Toán!