Chào các em học sinh yêu quý!
Hôm nay, thầy sẽ hướng dẫn các em giải một bài tập vận dụng hằng đẳng thức rất thú vị và thường gặp trong chương trình Toán lớp 9 của chúng ta. Bài toán yêu cầu chúng ta xử lý biểu thức “x căn x – 1” bằng hằng đẳng thức.

Bài giải: Phân tích biểu thức \(\(x\sqrt{x} – 1\)\) thành nhân tử

Bước 1: Phân tích đề bài và xác định điều kiện của biến
Đề bài yêu cầu chúng ta phân tích biểu thức \(\(x\sqrt{x} – 1\)\) thành nhân tử bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ. Đây là một dạng bài tập điển hình giúp chúng ta làm quen với việc biến đổi biểu thức có chứa căn bậc hai.
Để biểu thức \(\(\sqrt{x}\)\) có nghĩa, chúng ta cần điều kiện \(\(x \geq 0\).\)

Bước 2: Nhận diện dạng của biểu thức để liên hệ với hằng đẳng thức
Chúng ta hãy quan sát kỹ biểu thức \(\(x\sqrt{x} – 1\).\)
Nếu chúng ta để ý, số hạng \(\(x\sqrt{x}\)\) có thể được viết lại dưới dạng lũy thừa của \(\(\sqrt{x}\)\).
Chúng ta đã biết rằng, với \(\(x \geq 0\)\), thì \(\(x = (\sqrt{x})^2\).\)
Vậy, \(\(x\sqrt{x}\)\) sẽ bằng:
\(\[x\sqrt{x} = (\sqrt{x})^2 \cdot \sqrt{x} = (\sqrt{x})^{2+1} = (\sqrt{x})^3\]\)
Còn số \(\(1\)\) thì chúng ta có thể viết là \(\(1^3\).\)
Như vậy, biểu thức ban đầu \(\(x\sqrt{x} – 1\)\) có thể được viết lại dưới dạng:
\(\[x\sqrt{x} – 1 = (\sqrt{x})^3 – 1^3\]\)

Bước 3: Nhắc lại hằng đẳng thức phù hợp
Dạng \(\(a^3 – b^3\)\) này ngay lập tức gợi cho chúng ta nhớ đến một trong bảy hằng đẳng thức đáng nhớ mà chúng ta đã học, đó chính là hiệu của hai lập phương.
Hằng đẳng thức đó có công thức như sau:
\(\[a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)\]\)

Bước 4: Áp dụng hằng đẳng thức vào biểu thức đã cho
Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng hằng đẳng thức này cho biểu thức của mình.
Trong trường hợp của chúng ta:
Đặt \(\(a = \sqrt{x}\)\)
Và \(\(b = 1\)\)
Thay các giá trị \(\(a\)\) và \(\(b\)\) này vào công thức hằng đẳng thức hiệu hai lập phương, ta được:
\(\[(\sqrt{x})^3 – 1^3 = (\sqrt{x} – 1)((\sqrt{x})^2 + \sqrt{x} \cdot 1 + 1^2)\]\)

Bước 5: Rút gọn biểu thức vừa áp dụng
Tiếp theo, chúng ta sẽ thực hiện rút gọn các số hạng trong dấu ngoặc thứ hai.
Ta có:
\(\((\sqrt{x})^2 = x\)\) (với điều kiện \(\(x \geq 0\)\) đã xét ở Bước 1)
\(\(\sqrt{x} \cdot 1 = \sqrt{x}\)\)
\(\(1^2 = 1\)\)
Vậy, biểu thức của chúng ta trở thành:
\(\[(\sqrt{x} – 1)(x + \sqrt{x} + 1)\]\)

Bước 6: Kết luận
Vậy, biểu thức \(\(x\sqrt{x} – 1\)\) khi phân tích thành nhân tử (với điều kiện \(\(x \geq 0\)\) ) là:
\(\[x\sqrt{x} – 1 = (\sqrt{x} – 1)(x + \sqrt{x} + 1)\]\)
Đây chính là kết quả cuối cùng của bài toán. Các em hãy ghi nhớ cách biến đổi dạng \(\(x\sqrt{x}\)\) thành \(\((\sqrt{x})^3\)\) và áp dụng hằng đẳng thức một cách linh hoạt trong các bài tập khác nhé!
Chúc các em học tốt!