Chào em! Một bài toán rất hay giúp chúng ta ôn lại kiến thức về biến đổi biểu thức và các tính chất của số thực nhé.

Phương trình em đưa ra là:
\(x^2 – 4x + 5 = 0\)

Đây là một phương trình bậc hai. Ở lớp 7, chúng ta chưa học công thức nghiệm tổng quát cho phương trình bậc hai (công thức này sẽ được học ở lớp 9). Tuy nhiên, chúng ta hoàn toàn có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi phương trình và tìm nghiệm (nếu có) hoặc chứng minh phương trình vô nghiệm.

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp “biến đổi về dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu” (hay còn gọi là phương pháp hoàn thành bình phương).

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Nhận dạng và biến đổi vế trái của phương trình.

Phương trình đã cho là \(x^2 – 4x + 5 = 0\).

Chúng ta quan sát hai hạng tử đầu tiên của vế trái là \(x^2 – 4x\). Chúng ta thấy rằng nó rất giống với phần đầu của một hằng đẳng thức bình phương của một hiệu, đó là \((A-B)^2 = A^2 – 2AB + B^2\).

Ở đây, nếu ta coi \(A = x\), thì \(A^2 = x^2\). Tiếp theo, ta có \(2AB = 4x\). Thay \(A=x\) vào, ta được \(2x B = 4x\), suy ra \(B = 2\).

Vậy, để có một bình phương của một hiệu \((x-2)^2\), chúng ta cần có \(B^2 = 2^2 = 4\).

Bước 2: Tách hạng tử tự do để tạo hằng đẳng thức.

Ta sẽ tách số 5 ở vế trái thành tổng của 4 và 1:

\[x^2 – 4x + 5 = x^2 – 4x + 4 + 1\]

Bước 3: Áp dụng hằng đẳng thức.

Bây giờ, chúng ta nhóm ba hạng tử đầu tiên lại:

\[(x^2 – 4x + 4) + 1\]

Theo hằng đẳng thức bình phương của một hiệu \((A-B)^2 = A^2 – 2AB + B^2\), với \(A=x\) và \(B=2\), ta có \(x^2 – 4x + 4 = (x – 2)^2\).

Thay vào phương trình, ta được:

\[(x – 2)^2 + 1 = 0\]

Bước 4: Đánh giá biểu thức đã biến đổi.

Chúng ta biết rằng, bình phương của một số thực bất kỳ (dù số đó âm, dương hay bằng 0) luôn luôn không âm. Tức là, với mọi giá trị của \(x\), ta luôn có:

\[(x – 2)^2 \ge 0\]

Nếu \((x – 2)^2 \ge 0\), thì khi cộng thêm 1 vào cả hai vế của bất đẳng thức, ta sẽ có:

\[(x – 2)^2 + 1 \ge 0 + 1\]
\[(x – 2)^2 + 1 \ge 1\]

Bước 5: Kết luận về nghiệm của phương trình.

Từ kết quả ở Bước 4, chúng ta thấy rằng \((x – 2)^2 + 1\) luôn lớn hơn hoặc bằng 1. Điều này có nghĩa là giá trị của biểu thức \((x – 2)^2 + 1\) không bao giờ có thể bằng 0.

Trong khi đó, phương trình ban đầu yêu cầu \((x – 2)^2 + 1 = 0\).

Vì vế trái \((x – 2)^2 + 1\) luôn lớn hơn hoặc bằng 1, nên nó không thể bằng 0.

Do đó, phương trình đã cho không có nghiệm thực.

Tóm lại: Phương trình \(x^2 – 4x + 5 = 0\) sau khi biến đổi thành \((x – 2)^2 + 1 = 0\) cho thấy vế trái luôn lớn hơn hoặc bằng 1, nên không thể bằng 0. Vậy phương trình này vô nghiệm.

Đây là một dạng bài rất hay để chúng ta nắm vững các hằng đẳng thức và tính chất của số thực đấy em nhé!