Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về phương trình tích. Phương pháp chính mà chúng ta sẽ sử dụng là biến đổi biểu thức để đưa về dạng tích bằng cách áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ mà chúng ta đã học. Đây là một phương pháp rất hiệu quả cho dạng bài này trong chương trình Toán 8 của chúng ta.

Bước 1: Biến đổi vế phải và chuyển tất cả các hạng tử sang một vế.

Phương trình ban đầu của chúng ta là:

\[(x+2)^2 = 9(x^2-4x+4)\]

Trước hết, các em hãy quan sát biểu thức trong ngoặc ở vế phải: \((x^2-4x+4)\). Các em có nhận ra đây là dạng hằng đẳng thức nào không? Chính xác rồi, đây là hằng đẳng thức bình phương của một hiệu!

Chúng ta có công thức:

\[(a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\]

Áp dụng vào biểu thức \((x^2-4x+4)\), ta thấy \(a=x\) và \(b=2\). Vậy:

\[x^2-4x+4 = (x-2)^2\]

Thay kết quả này vào phương trình ban đầu, ta được:

\[(x+2)^2 = 9(x-2)^2\]

Tiếp theo, để đưa về dạng phương trình tích, chúng ta sẽ chuyển toàn bộ vế phải sang vế trái và đổi dấu:

\[(x+2)^2 – 9(x-2)^2 = 0\]

Để chuẩn bị cho việc áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, ta nhận thấy \(9\) có thể viết dưới dạng \(3^2\). Vậy biểu thức \(9(x-2)^2\) có thể viết gọn thành \([3(x-2)]^2\).

\[(x+2)^2 – [3(x-2)]^2 = 0\]

Khai triển biểu thức trong ngoặc vuông: \(3(x-2) = 3x – 6\). Vậy phương trình trở thành:

\[(x+2)^2 – (3x-6)^2 = 0\]

Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.

Đến đây, chúng ta có dạng \(\text{A}^2 – \text{B}^2 = 0\). Đây chính là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương mà chúng ta đã học:

\[\text{A}^2 – \text{B}^2 = (\text{A} – \text{B})(\text{A} + \text{B})\]

Trong trường hợp này, \(\text{A} = (x+2)\) và \(\text{B} = (3x-6)\). Áp dụng công thức, ta có:

\[[(x+2) – (3x-6)][(x+2) + (3x-6)] = 0\]

Bước 3: Rút gọn các biểu thức trong ngoặc để đưa về phương trình tích cơ bản.

Bây giờ, chúng ta sẽ rút gọn từng biểu thức trong ngoặc vuông:

Đối với ngoặc thứ nhất: \((x+2) – (3x-6)\)

Khi bỏ dấu ngoặc có dấu trừ đằng trước, chúng ta phải đổi dấu tất cả các hạng tử bên trong:

\(x+2 – 3x + 6\)

Gom các hạng tử đồng dạng:

\((x – 3x) + (2 + 6) = -2x + 8\)

Đối với ngoặc thứ hai: \((x+2) + (3x-6)\)

Khi bỏ dấu ngoặc có dấu cộng đằng trước, chúng ta giữ nguyên dấu các hạng tử bên trong:

\(x+2 + 3x – 6\)

Gom các hạng tử đồng dạng:

\((x + 3x) + (2 – 6) = 4x – 4\)

Vậy, phương trình của chúng ta đã trở thành dạng phương trình tích:

\[(-2x + 8)(4x – 4) = 0\]

Bước 4: Giải các phương trình bậc nhất.

Một phương trình tích có dạng \(\text{A} \cdot \text{B} = 0\) khi và chỉ khi \(\text{A} = 0\) hoặc \(\text{B} = 0\). Chúng ta sẽ xét từng trường hợp để tìm các giá trị của \(x\):

Trường hợp 1: \(-2x + 8 = 0\)

Chuyển hạng tử tự do sang vế phải:

\(-2x = -8\)

Chia cả hai vế cho \(-2\):

\(x = \frac{-8}{-2}\)

\(x = 4\)

Trường hợp 2: \(4x – 4 = 0\)

Chuyển hạng tử tự do sang vế phải:

\(4x = 4\)

Chia cả hai vế cho \(4\):

\(x = \frac{4}{4}\)

\(x = 1\)

Kết luận:

Vậy, tập nghiệm của phương trình đã cho là \(\text{S} = \{1; 4\}\).

Thầy hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững hơn về cách giải phương trình tích bằng phương pháp sử dụng hằng đẳng thức. Hãy luôn nhớ ôn tập các hằng đẳng thức và biến đổi linh hoạt nhé!