Chào các em học sinh lớp 11! Cô rất vui được cùng các em ôn tập lại kiến thức về hàm số chẵn, hàm số lẻ trong chương trình Toán học của chúng ta. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau xét tính chẵn lẻ của một số hàm số cụ thể theo Sách giáo khoa. Các em hãy chú ý theo dõi và ghi chép bài đầy đủ nhé.

Để xét tính chẵn lẻ của một hàm số \(y = f(x)\), chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Một hàm số chỉ có thể là hàm chẵn hoặc hàm lẻ nếu tập xác định của nó đối xứng qua gốc tọa độ, tức là nếu \(x\) thuộc tập xác định thì \(-x\) cũng thuộc tập xác định.

Bước 2: Tính \(f(-x)\).
Thay \(x\) bởi \(-x\) vào biểu thức của hàm số.

Bước 3: So sánh \(f(-x)\) với \(f(x)\).
– Nếu \(f(-x) = f(x)\) với mọi \(x\) thuộc tập xác định, thì hàm số \(y = f(x)\) là hàm chẵn.
– Nếu \(f(-x) = -f(x)\) với mọi \(x\) thuộc tập xác định, thì hàm số \(y = f(x)\) là hàm lẻ.
– Nếu không thỏa mãn một trong hai trường hợp trên, thì hàm số không chẵn và cũng không lẻ.

Bây giờ, chúng ta sẽ đi vào giải chi tiết từng câu trong bài tập của mình.

Câu a, y = sin2x + tan2x

Bước 1: Tìm tập xác định.
Hàm số \(y = \sin(2x)\) có tập xác định là \(R\).
Hàm số \(y = \tan(2x)\) có điều kiện là \(2x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\), hay \(x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}\) với \(k \in Z\).
Vậy, tập xác định của hàm số \(y = \sin(2x) + \tan(2x)\) là \(D = R \setminus \{ \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \mid k \in Z \}\).
Tập xác định này đối xứng qua gốc tọa độ vì nếu \(x \in D\) thì \(-x \in D\).

Bước 2: Tính \(f(-x)\).
Ta có:
\(f(-x) = \sin(2(-x)) + \tan(2(-x))\)
\(f(-x) = \sin(-2x) + \tan(-2x)\)

Chúng ta sử dụng các công thức lượng giác quen thuộc:
\( \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) \)
\( \tan(-\alpha) = -\tan(\alpha) \)

Áp dụng các công thức này, ta được:
\(f(-x) = -\sin(2x) – \tan(2x)\)

Bước 3: So sánh \(f(-x)\) với \(f(x)\).
Ta thấy:
\(f(-x) = -(\sin(2x) + \tan(2x))\)
\(f(-x) = -f(x)\)

Do đó, với mọi \(x\) thuộc tập xác định, ta có \(f(-x) = -f(x)\).
Kết luận: Hàm số \(y = \sin(2x) + \tan(2x)\) là hàm lẻ.

Câu b, y = cosx + sin^2x

Bước 1: Tìm tập xác định.
Hàm số \(y = \cos(x)\) có tập xác định là \(R\).
Hàm số \(y = \sin^2(x)\) có tập xác định là \(R\).
Vậy, tập xác định của hàm số \(y = \cos(x) + \sin^2(x)\) là \(D = R\).
Tập xác định này đối xứng qua gốc tọa độ.

Bước 2: Tính \(f(-x)\).
Ta có:
\(f(-x) = \cos(-x) + \sin^2(-x)\)

Sử dụng các công thức lượng giác:
\( \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) \)
\( \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) \) nên \( \sin^2(-\alpha) = (-\sin(\alpha))^2 = \sin^2(\alpha) \)

Áp dụng các công thức này, ta được:
\(f(-x) = \cos(x) + \sin^2(x)\)

Bước 3: So sánh \(f(-x)\) với \(f(x)\).
Ta thấy:
\(f(-x) = \cos(x) + \sin^2(x)\)
\(f(x) = \cos(x) + \sin^2(x)\)

Do đó, \(f(-x) = f(x)\) với mọi \(x\) thuộc tập xác định.
Kết luận: Hàm số \(y = \cos(x) + \sin^2(x)\) là hàm chẵn.

Câu c, y = sinx cos2x

Bước 1: Tìm tập xác định.
Hàm số \(y = \sin(x)\) có tập xác định là \(R\).
Hàm số \(y = \cos(2x)\) có tập xác định là \(R\).
Vậy, tập xác định của hàm số \(y = \sin(x) \cos(2x)\) là \(D = R\).
Tập xác định này đối xứng qua gốc tọa độ.

Bước 2: Tính \(f(-x)\).
Ta có:
\(f(-x) = \sin(-x) \cos(2(-x))\)
\(f(-x) = \sin(-x) \cos(-2x)\)

Sử dụng các công thức lượng giác:
\( \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) \)
\( \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) \)

Áp dụng các công thức này, ta được:
\(f(-x) = (-\sin(x)) (\cos(2x))\)
\(f(-x) = -\sin(x) \cos(2x)\)

Bước 3: So sánh \(f(-x)\) với \(f(x)\).
Ta thấy:
\(f(-x) = -\sin(x) \cos(2x)\)
\(f(x) = \sin(x) \cos(2x)\)

Do đó, \(f(-x) = -f(x)\) với mọi \(x\) thuộc tập xác định.
Kết luận: Hàm số \(y = \sin(x) \cos(2x)\) là hàm lẻ.

Câu d, y = sinx + cosx

Bước 1: Tìm tập xác định.
Hàm số \(y = \sin(x)\) có tập xác định là \(R\).
Hàm số \(y = \cos(x)\) có tập xác định là \(R\).
Vậy, tập xác định của hàm số \(y = \sin(x) + \cos(x)\) là \(D = R\).
Tập xác định này đối xứng qua gốc tọa độ.

Bước 2: Tính \(f(-x)\).
Ta có:
\(f(-x) = \sin(-x) + \cos(-x)\)

Sử dụng các công thức lượng giác:
\( \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) \)
\( \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) \)

Áp dụng các công thức này, ta được:
\(f(-x) = -\sin(x) + \cos(x)\)

Bước 3: So sánh \(f(-x)\) với \(f(x)\).
Ta có:
\(f(-x) = -\sin(x) + \cos(x)\)
\(f(x) = \sin(x) + \cos(x)\)

Bây giờ chúng ta so sánh:
– \(f(-x)\) có bằng \(f(x)\) không?
\(-\sin(x) + \cos(x) = \sin(x) + \cos(x)\)
\(-\sin(x) = \sin(x)\)
\(2\sin(x) = 0\)
\( \sin(x) = 0 \)
Điều này chỉ đúng với một số giá trị của \(x\) (ví dụ \(x=0\)), chứ không đúng với mọi \(x\) thuộc tập xác định. Do đó, hàm số không phải là hàm chẵn.

– \(f(-x)\) có bằng \(-f(x)\) không?
\(-f(x) = -(\sin(x) + \cos(x)) = -\sin(x) – \cos(x)\)
So sánh \(f(-x) = -\sin(x) + \cos(x)\) với \(-f(x) = -\sin(x) – \cos(x)\).
Ta thấy \(-\sin(x) + \cos(x) \neq -\sin(x) – \cos(x)\) trừ khi \(2\cos(x)=0\) hay \( \cos(x)=0 \), điều này cũng không đúng với mọi \(x\). Do đó, hàm số không phải là hàm lẻ.

Kết luận: Hàm số \(y = \sin(x) + \cos(x)\) không chẵn và cũng không lẻ.

Các em thân mến, qua bài tập này, cô hy vọng các em đã nắm vững cách xét tính chẵn lẻ của hàm số. Các em hãy xem lại các bước và tự mình làm lại bài tập này để ghi nhớ kiến thức nhé. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô. Chúc các em học tốt!